Mostre que para qualquer
, se
são tais que
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que dados
e números positivos
com
vale
Vamos usar a ideia de que, ao multiplicar uma desigualdade estrita por um número positivo, a desigualdade se preserva, e o princípio da indução em
.
Passo 2
(Base da indução) Para
temos apenas uma desigualdade
que é exatamente
Logo o caso
é verdadeiro.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
já seja válido
Denote
Pela hipótese,
e note que
e
pois todos os termos são positivos.
Passo 4
(Passo de indução) Queremos mostrar que
ou seja
Temos duas desigualdades disponíveis:
- Da hipótese de indução:
. Como , multiplicando ambos os lados por mantém a desigualdade:
- Da condição do enunciado:
. Como , multiplicando ambos os lados por mantém a desigualdade:
Agora, pela transitividade de
, combinamos:
Portanto
fechando o passo de indução.
Resposta
Assim, por indução, para todo
e
com
, vale