Mostre que para qualquer n \in \mathbb{N}, se a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in \mathbb{R}^{+}são tais que a_{1}<b_{1}, \ldots, a_{n}<b_{n}, então
a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{n}<b_{1} \cdot \ldots \cdot b_{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução em n, que dados n\in\mathbb{N} e números positivos
a_{1},\dots,a_{n},\,b_{1},\dots,b_{n}\in\mathbb{R}^{+}
com
a_{i}<b_{i}\quad\text{para todo }i=1,\dots,n,
vale
a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}<b_{1}\cdot b_{2}\cdots b_{n}.
Vamos usar a ideia de que, ao multiplicar uma desigualdade estrita por um número positivo, a desigualdade se preserva, e o princípio da indução em n.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 temos apenas uma desigualdade
a_{1}<b_{1},
que é exatamente
a_{1}<b_{1}.
Logo o caso n=1 é verdadeiro.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k\ge1 já seja válido
a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}<b_{1}\cdot b_{2}\cdots b_{k}.
Denote
A_k = a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k},\qquad B_k = b_{1}\cdot b_{2}\cdots b_{k}.
Pela hipótese,
A_k < B_k,
e note que A_k>0 e B_k>0 pois todos os termos são positivos.

Passo 4

(Passo de indução) Queremos mostrar que
a_{1}\cdots a_{k}\cdot a_{k+1}<b_{1}\cdots b_{k}\cdot b_{k+1},
ou seja
A_k\cdot a_{k+1} < B_k\cdot b_{k+1}.
Temos duas desigualdades disponíveis:
  1. Da hipótese de indução: A_k < B_k. Como b_{k+1}>0, multiplicando ambos os lados por b_{k+1} mantém a desigualdade:
A_k\cdot b_{k+1} < B_k\cdot b_{k+1}.
  1. Da condição do enunciado: a_{k+1}<b_{k+1}. Como A_k>0, multiplicando ambos os lados por A_k mantém a desigualdade:
A_k\cdot a_{k+1} < A_k\cdot b_{k+1}.
Agora, pela transitividade de <, combinamos:
A_k\cdot a_{k+1} < A_k\cdot b_{k+1} < B_k\cdot b_{k+1}.
Portanto
A_{k+1} = A_k\cdot a_{k+1} < B_k\cdot b_{k+1} = B_{k+1},
fechando o passo de indução.

Resposta

Assim, por indução, para todo n\in\mathbb{N} e a_{i},b_{i}>0 com a_{i}<b_{i}, vale
a_{1}\cdot\ldots\cdot a_{n}<b_{1}\cdot\ldots\cdot b_{n}.

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