Sejam as funções f e g reais definidas por f(x)=x^{2}-2 x e g(x)=3 x-4. Determine:
g(f(x))

Passo 1

O enunciado dá duas funções reais e pede que a gente encontre a composição g(f(x)). As informações fornecidas são:
f(x)=x^{2}-2x
g(x)=3x-4
A tarefa é determinar explicitamente a função g\circ f, isto é, g(f(x)).

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa compor funções de forma bem simples e visual. Se temos duas funções f e g, a composição g(f(x)) significa: pegue o valor f(x) e coloque esse valor no lugar da variável em g. Em fórmula:
g(f(x)) = g\bigl(\,f(x)\,\bigr).
Aqui x é a variável independente (qualquer número real que você escolha), e f(x) é o número resultante que vai entrar como entrada de g.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa situação, substituímos f(x) dentro de g. Como g(t)=3t-4 para uma entrada genérica t, ao colocar t=f(x) obtemos:
g(f(x)) = 3\bigl(f(x)\bigr) - 4.

Passo 4

Agora substituímos a expressão de f(x), que é \,x^{2}-2x, na expressão anterior:
g(f(x)) = 3\bigl(x^{2}-2x\bigr) - 4.
Explico aqui o que fiz: peguei a fórmula de g, que multiplica a entrada por 3 e subtrai 4, e troquei a entrada por x^{2}-2x.

Passo 5

Distribuímos o 3 pelo parêntese (regra da distributiva: a(b+c)=ab+ac) e simplificamos os termos:
g(f(x)) = 3x^{2} - 6x - 4.
Detalhando a conta: 3\cdot x^{2}=3x^{2} e 3\cdot(-2x)=-6x. Depois subtraiu-se o 4.

Passo 6

Verificação rápida com um número para ter confiança: escolha x=2.
Calcule f(2)=2^{2}-2\cdot2=4-4=0.
Então g(f(2))=g(0)=3\cdot0-4=-4.
Agora avalie a expressão final em x=2: 3\cdot2^{2}-6\cdot2-4=3\cdot4-12-4=12-12-4=-4.
Conferiu certinho — ótimo sinal!

Passo 7

Observações finais rápidas: ambas f e g são polinomiais, então a composição também é um polinômio. O domínio de g(f(x)) é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

g(f(x))=3x^{2}-6x-4

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