Mostre que, para qualquer vetor
, temos que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para um vetor qualquer
:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações dadas:
- Existe um vetor arbitrário
. Não há outras restrições (pode ser o vetor nulo ou não). - A letra
usada em indica o módulo (norma) do vetor , isto é .
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (atenção: isto é a “aula” curta necessária para a prova).
- Representação por componentes: escrevemos o vetor
como
onde
são as componentes cartesianas.
- Norma (módulo) do vetor: a norma de
é
Isto é simplesmente o comprimento do vetor pelo teorema de Pitágoras em 3D.
- Produto escalar (dot product) — definição algébrica e geométrica:
- Definição algébrica:
- Definição geométrica:
onde
é o ângulo entre
e
.
- Produto vetorial (cross product) — propriedades principais:
- Componente por componente (fórmula determinantal):
- Magnitude e geometria:
direção perpendicular a ambos
e
(regra da mão direita). O produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 3
Prova de
usando a definição algébrica.
Começando pela definição algébrica do produto escalar, substituímos
:
Pelo item da norma, temos
. Portanto
Passo 4
Interpretação geométrica alternativa (útil na prova): o ângulo entre um vetor e ele mesmo é zero, ou seja
. Pela fórmula geométrica do produto escalar:
Isto reforça a mesma conclusão de modo mais rápido quando for permitido usar a definição geométrica.
Passo 5
Prova de
usando a fórmula por componentes.
Aplicando a fórmula do produto vetorial com
:
Cada componente é uma subtração de termos idênticos, por exemplo
. Assim as três componentes são zero e
Passo 6
Interpretação geométrica alternativa (intuição e prova rápida): o produto vetorial tem magnitude
. Como o ângulo entre
e ele mesmo é
, temos
, então a magnitude é zero. Um vetor com magnitude zero é o vetor nulo, logo
Outra intuição: o produto vetorial mede a área do paralelogramo gerado por
e
; esse paralelogramo tem área zero (as duas arestas coincidem), então o resultado é o vetor nulo.