Mostre que, para qualquer vetor \vec{a}, temos que \vec{a} \cdot \vec{a}=a^{2} e que \vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para um vetor qualquer \vec{a}:
  • Mostrar que \vec{a}\cdot\vec{a}=a^{2}.
  • Mostrar que \vec{a}\times\vec{a}=\overrightarrow{0}.
Informações dadas:
  • Existe um vetor arbitrário \vec{a}. Não há outras restrições (pode ser o vetor nulo ou não).
  • A letra a usada em a^{2} indica o módulo (norma) do vetor \vec{a}, isto é a=\|\vec{a}\|.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (atenção: isto é a “aula” curta necessária para a prova).
  1. Representação por componentes: escrevemos o vetor \vec{a} como
\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),
onde a_{1},a_{2},a_{3} são as componentes cartesianas.
  1. Norma (módulo) do vetor: a norma de \vec{a} é
a=\|\vec{a}\|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.
Isto é simplesmente o comprimento do vetor pelo teorema de Pitágoras em 3D.
  1. Produto escalar (dot product) — definição algébrica e geométrica:
  • Definição algébrica:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
  • Definição geométrica:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  1. Produto vetorial (cross product) — propriedades principais:
  • Componente por componente (fórmula determinantal):
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).
  • Magnitude e geometria:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta,
direção perpendicular a ambos \vec{u} e \vec{v} (regra da mão direita). O produto vetorial mede a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Prova de \vec{a}\cdot\vec{a}=a^{2} usando a definição algébrica.
Começando pela definição algébrica do produto escalar, substituímos \vec{u}=\vec{v}=\vec{a}:
\vec{a}\cdot\vec{a}=a_{1}a_{1}+a_{2}a_{2}+a_{3}a_{3}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.
Pelo item da norma, temos a^{2}=\|\vec{a}\|^{2}=(\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}. Portanto
\vec{a}\cdot\vec{a}=a^{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica alternativa (útil na prova): o ângulo entre um vetor e ele mesmo é zero, ou seja \theta=0. Pela fórmula geométrica do produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{a}\|\cos 0=a\cdot a\cdot 1=a^{2}.
Isto reforça a mesma conclusão de modo mais rápido quando for permitido usar a definição geométrica.

Passo 5

Prova de \vec{a}\times\vec{a}=\overrightarrow{0} usando a fórmula por componentes.
Aplicando a fórmula do produto vetorial com \vec{u}=\vec{v}=\vec{a}:
\vec{a}\times\vec{a}=\bigl(a_{2}a_{3}-a_{3}a_{2},\;a_{3}a_{1}-a_{1}a_{3},\;a_{1}a_{2}-a_{2}a_{1}\bigr).
Cada componente é uma subtração de termos idênticos, por exemplo a_{2}a_{3}-a_{3}a_{2}=0. Assim as três componentes são zero e
\vec{a}\times\vec{a}=(0,0,0)=\overrightarrow{0}.

Passo 6

Interpretação geométrica alternativa (intuição e prova rápida): o produto vetorial tem magnitude \|\vec{a}\times\vec{a}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{a}\|\sin\theta. Como o ângulo entre \vec{a} e ele mesmo é \theta=0, temos \sin 0=0, então a magnitude é zero. Um vetor com magnitude zero é o vetor nulo, logo
\vec{a}\times\vec{a}=\overrightarrow{0}.
Outra intuição: o produto vetorial mede a área do paralelogramo gerado por \vec{a} e \vec{a}; esse paralelogramo tem área zero (as duas arestas coincidem), então o resultado é o vetor nulo.

Resposta

\vec{a}\cdot\vec{a}=a^{2}
\vec{a}\times\vec{a}=\overrightarrow{0}

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