Considere os vetores \vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath} e \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}. Determine o módulo, direção e sentido dos vetores:
\vec{a}-\vec{b}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede que eu determine módulo, direção e sentido do vetor pedido. Informações dadas:
  • \vec{a}=2\hat{\imath}-\hat{\jmath}.
  • \vec{b}=\hat{\imath}-\hat{\jmath}.
O que se pede:
  • Determinar o vetor \vec{a}-\vec{b}.
  • Determinar o módulo (comprimento) de \vec{a}-\vec{b}.
  • Determinar a direção (ângulo) de \vec{a}-\vec{b} em relação ao eixo x.
  • Determinar o sentido (para onde aponta) de \vec{a}-\vec{b}.

Passo 2

Como subtrair vetores: se \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), então a subtração é feita componente a componente:
\vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x,\;u_y-v_y).
Vou aplicar isso ao caso dado. Primeiro identifiquemos as componentes:
  • Para \vec{a}: a_x=2 e a_y=-1.
  • Para \vec{b}: b_x=1 e b_y=-1.
Agora cálculo as componentes de \vec{a}-\vec{b}:
\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x,\;a_y-b_y)=(2-1,\;-1-(-1)).

Passo 3

Calcule as diferenças numéricas:
2-1=1,\qquad -1-(-1)=-1+1=0.
Portanto a componente x vale 1 e a componente y vale 0. Assim, em forma cartesiana:
\vec{a}-\vec{b}=(1,0).
Em notação com vetores unitários isso corresponde a \hat{\imath} (mas vou usar isso depois para falar do sentido).

Passo 4

Cálculo do módulo (comprimento) de um vetor bidimensional: para \vec{v}=(v_x,v_y) vale a fórmula
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aplicando a \vec{a}-\vec{b}=(1,0):
\|\vec{a}-\vec{b}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1.
Interpretação: o vetor tem comprimento 1 (unidade do sistema usado).

Passo 5

Determinar a direção (ângulo) em relação ao eixo x: para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y) com v_x\neq0 podemos usar
\tan\theta=\frac{v_y}{v_x},
onde \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário. No nosso caso v_x=1>0 e v_y=0, então
\tan\theta=\frac{0}{1}=0.
O ângulo cujo tangente é zero e que corresponde a v_x>0 é \theta=0 (radianos) ou \theta=0^\circ. Observação didática: se v_x fosse negativo haveria que ajustar \theta para o quadrante correto; se v_x=0 trataríamos o caso separadamente (ângulo 90^\circ ou 270^\circ). Aqui é simples: ângulo zero.

Passo 6

Determinar o sentido: o sentido de um vetor é indicado pela direção apontada ao longo da reta. Como \vec{a}-\vec{b} tem componente x positiva e componente y nula, ele aponta ao longo do eixo x positivo, ou seja, “para a direita”. Uma maneira de ver o sentido é calcular o versor (vetor unitário) na direção do vetor:
\hat{u}=\frac{\vec{a}-\vec{b}}{\|\vec{a}-\vec{b}\|}=\frac{(1,0)}{1}=(1,0)=\hat{\imath},
o que confirma que o sentido é o do vetor unitário \hat{\imath} (eixo x positivo).

Resposta

\vec{a}-\vec{b}=\hat{\imath}
\|\vec{a}-\vec{b}\|=1
direção: \theta=0 (em relação ao eixo x, ou seja 0^\circ)
sentido: para a direita (eixo x positivo)

Exercícios relacionados