Mostre que para
o campo é o mesmo de uma massa pontual no centro:
. Calcule a força sobre uma partícula de massa
em
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
- Há uma distribuição de massa com massa total
contida dentro de uma esfera de raio . - Queremos considerar um ponto radialmente afastado do centro a uma distância
tal que . - Pedem para mostrar que, para
, o campo gravitacional tem a forma de uma massa pontual no centro, isto é . - Pedem também para calcular a força sobre uma partícula de massa
colocada nesse ponto .
Observação necessária que fica explícita: assume-se que a distribuição de massa é esfericamente simétrica (isto é, invariante por rotações em torno do centro), caso contrário a afirmação não vale.
Passo 2
Definições e ideias básicas que vamos usar (sem yet resolver):
- O campo gravitacional
em um ponto é a aceleração que uma partícula de massa desprezível sofreria ali; sua unidade é de aceleração. Para uma massa pontual no centro o módulo de é dado por dirigido para o centro (isso é a lei de Newton). - A superposição: o campo total de uma distribuição é a soma vetorial dos campos de cada parte da massa.
- Pela simetria esférica a seguir, o campo fora da esfera dependerá apenas de
(a distância ao centro) e será radial (apontando para dentro). Vou usar essa propriedade para simplificar a conta.
Passo 3
Por que o campo é radial e depende só de
? (explicação didática)
- Se a distribuição é esfericamente simétrica, qualquer rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada. Se o campo em um ponto dependesse da direção, após rotacionar o conjunto de massas o campo naquele ponto teria que mudar, o que contradiz a simetria. Portanto o campo só pode depender da distância
ao centro e tem que apontar radialmente (para dentro). - Em notação vetorial podemos escrever a direção radial unitária como
. Assim o campo tem a forma , onde é o módulo e o sinal negativo indica direção para o centro.
Passo 4
Escolha da superfície para aplicar um argumento de fluxo (escolha do “trampolim” matemático)
- Pela simetria, escolha uma superfície esférica centrada no mesmo centro da distribuição, de raio
(com ). Essa superfície é chamada de superfície gaussiana. - Em toda essa esfera o vetor
tem mesmo módulo e é paralelo ao vetor normal superficial externo (mas aponta no sentido oposto), então o produto escalar é .
Passo 5
Fluxo do campo e a lei de Gauss para gravidade (intuição e fórmula usada)
- A lei de Gauss para o campo gravitacional (análogo da lei de Gauss eletrostática) diz, em forma integral, que o fluxo do campo através de uma superfície fechada é proporcional à massa total contida na região interna:
onde
é a massa total dentro da superfície
,
é a constante gravitacional, e o sinal negativo aparece porque
aponta para dentro enquanto
é o vetor área apontando para fora.
- Justificação curta: essa forma decorre de
(equação de Poisson para o potencial gravitacional) e do teorema da divergência; para o nosso objetivo podemos usar a forma integral acima como uma identidade clássica em gravitação newtoniana.
Passo 6
Aplicando a lei de Gauss à superfície esférica de raio
com
- Pela escolha da superfície, o fluxo é fácil de calcular: em cada ponto da esfera
. Integrando sobre a esfera de área total obtemos
- O lado direito da lei de Gauss é
. Como , toda a massa da distribuição está contida dentro da superfície, logo . Portanto a igualdade da lei de Gauss fica
Passo 7
Isolando
e escrevendo o resultado vetorial
- Cancelando os fatores
em ambos os lados obtemos imediatamente
- Em forma vetorial, lembrando que o campo aponta para o centro,
- Comentário prático: isso mostra que, para efeitos do campo fora da esfera, a distribuição esfericamente simétrica age exatamente como uma massa pontual
colocada no centro.
Passo 8
Força sobre uma partícula de massa
em
- A força gravitacional sobre uma partícula de massa
é simplesmente vezes o campo gravitacional naquele ponto (segunda lei de Newton aplicada ao campo): . Substituindo o resultado anterior obtemos
- O módulo da força é
, dirigido radialmente para o centro.