Mostre que para r>R o campo é o mesmo de uma massa pontual no centro: g(r)=G M / r^{2}. Calcule a força sobre uma partícula de massa m em r.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
  • Há uma distribuição de massa com massa total M contida dentro de uma esfera de raio R.
  • Queremos considerar um ponto radialmente afastado do centro a uma distância r tal que r>R.
  • Pedem para mostrar que, para r>R, o campo gravitacional tem a forma de uma massa pontual no centro, isto é g(r)=G M / r^{2}.
  • Pedem também para calcular a força sobre uma partícula de massa m colocada nesse ponto r.
Observação necessária que fica explícita: assume-se que a distribuição de massa é esfericamente simétrica (isto é, invariante por rotações em torno do centro), caso contrário a afirmação não vale.

Passo 2

Definições e ideias básicas que vamos usar (sem yet resolver):
  • O campo gravitacional \mathbf{g}(\mathbf{r}) em um ponto é a aceleração que uma partícula de massa desprezível sofreria ali; sua unidade é de aceleração. Para uma massa pontual M no centro o módulo de \mathbf{g} é dado por \dfrac{G M}{r^{2}} dirigido para o centro (isso é a lei de Newton).
  • A superposição: o campo total de uma distribuição é a soma vetorial dos campos de cada parte da massa.
  • Pela simetria esférica a seguir, o campo fora da esfera dependerá apenas de r (a distância ao centro) e será radial (apontando para dentro). Vou usar essa propriedade para simplificar a conta.

Passo 3

Por que o campo é radial e depende só de r? (explicação didática)
  • Se a distribuição é esfericamente simétrica, qualquer rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada. Se o campo em um ponto dependesse da direção, após rotacionar o conjunto de massas o campo naquele ponto teria que mudar, o que contradiz a simetria. Portanto o campo só pode depender da distância r ao centro e tem que apontar radialmente (para dentro).
  • Em notação vetorial podemos escrever a direção radial unitária como \hat{r}. Assim o campo tem a forma \mathbf{g}(r) = -g(r)\,\hat{r}, onde g(r)\ge0 é o módulo e o sinal negativo indica direção para o centro.

Passo 4

Escolha da superfície para aplicar um argumento de fluxo (escolha do “trampolim” matemático)
  • Pela simetria, escolha uma superfície esférica centrada no mesmo centro da distribuição, de raio r (com r>R). Essa superfície é chamada de superfície gaussiana.
  • Em toda essa esfera o vetor \mathbf{g} tem mesmo módulo g(r) e é paralelo ao vetor normal superficial externo \hat{n}=\hat{r} (mas aponta no sentido oposto), então o produto escalar é \mathbf{g}\cdot\hat{n} = -g(r).

Passo 5

Fluxo do campo e a lei de Gauss para gravidade (intuição e fórmula usada)
  • A lei de Gauss para o campo gravitacional (análogo da lei de Gauss eletrostática) diz, em forma integral, que o fluxo do campo através de uma superfície fechada é proporcional à massa total contida na região interna:
\oint_{S} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{enc}},
onde M_{\text{enc}} é a massa total dentro da superfície S, G é a constante gravitacional, e o sinal negativo aparece porque \mathbf{g} aponta para dentro enquanto d\mathbf{A} é o vetor área apontando para fora.
  • Justificação curta: essa forma decorre de \nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G\rho (equação de Poisson para o potencial gravitacional) e do teorema da divergência; para o nosso objetivo podemos usar a forma integral acima como uma identidade clássica em gravitação newtoniana.

Passo 6

Aplicando a lei de Gauss à superfície esférica de raio r com r>R
  • Pela escolha da superfície, o fluxo é fácil de calcular: em cada ponto da esfera \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -g(r)\,dA. Integrando sobre a esfera de área total 4\pi r^{2} obtemos
\oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -g(r)\,4\pi r^{2}.
  • O lado direito da lei de Gauss é -4\pi G M_{\text{enc}}. Como r>R, toda a massa M da distribuição está contida dentro da superfície, logo M_{\text{enc}}=M. Portanto a igualdade da lei de Gauss fica
- g(r)\,4\pi r^{2} = -4\pi G M.

Passo 7

Isolando g(r) e escrevendo o resultado vetorial
  • Cancelando os fatores -4\pi em ambos os lados obtemos imediatamente
g(r)=\dfrac{G M}{r^{2}}.
  • Em forma vetorial, lembrando que o campo aponta para o centro,
\mathbf{g}(r) = -\dfrac{G M}{r^{2}}\,\hat{r}.
  • Comentário prático: isso mostra que, para efeitos do campo fora da esfera, a distribuição esfericamente simétrica age exatamente como uma massa pontual M colocada no centro.

Passo 8

Força sobre uma partícula de massa m em r
  • A força gravitacional sobre uma partícula de massa m é simplesmente m vezes o campo gravitacional naquele ponto (segunda lei de Newton aplicada ao campo): \mathbf{F}=m\mathbf{g}. Substituindo o resultado anterior obtemos
\mathbf{F}(r) = -\dfrac{G M m}{r^{2}}\,\hat{r}.
  • O módulo da força é \displaystyle F(r)=\dfrac{G M m}{r^{2}}, dirigido radialmente para o centro.

Resposta

\displaystyle g(r)=\dfrac{G M}{r^{2}}
\displaystyle \mathbf{F}(r)=-\dfrac{G M m}{r^{2}}\,\hat{r}

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