Q5. Perfil não uniforme:
(para
).
(a) Encontre a massa encerrada
.
(b) Determine
para
e para
.
(c) Discuta o comportamento em
e as implicações físicas.
(a) Encontre a massa encerrada
(b) Determine
(c) Discuta o comportamento em
Passo 1
O enunciado dá a densidade radial de uma esfera (válida para
):
As perguntas são:
(a) Encontrar a massa encerrada para
.
(b) Determinar o módulo do campo gravitacional para as regiões
e
.
(c) Discutir o comportamento quando e as implicações físicas.
(a) Encontrar a massa encerrada
(b) Determinar o módulo do campo gravitacional
(c) Discutir o comportamento quando
Informações relevantes e constantes que vamos usar:
-
é a distância ao centro; é o raio externo onde a densidade é definida. -
é uma constante com unidades de densidade. -
é a constante gravitacional. - Para distribuições esfericamente simétricas vale que a massa efetiva que determina o campo em
é apenas a massa contida dentro de (teorema da casca de Newton / forma integral abaixo).
Passo 2
Escolha do método e ideia física básica (sem pular passos):
- Para achar
usamos a definição de massa em coordenadas esféricas: a massa numa casca esférica de raio e espessura é . - Logo a massa total dentro de
é a integral
- Vou explicar cada termo:
é o volume da casca fina; é a densidade nesse raio; integrar de a soma todas as cascas interiores. - Depois, para o campo gravitacional usaremos a lei de Newton (ou o teorema da casca): o módulo do campo em
é
onde
é a massa contida em
. Para
,
.
Passo 3
Calculando
. Substituo a densidade dada na integral:
Agora simplifico a integranda:
. Assim
Calculo a integral
. Portanto
Passo 4
Simplificando o resultado da massa:
Faço uma checagem dimensional rápida:
tem unidades de massa/volume,
tem unidades de volume, então o produto tem unidades de massa — consistente.
Passo 5
Massa total da esfera (usada para
):
Passo 6
Campo gravitacional para
. Pela fórmula de Newton para campo devido à massa interna:
Substituo
:
Observação importante: os fatores
cancelam, então
é independente de
dentro da esfera — é uma constante para
.
Passo 7
Campo gravitacional para
. Para fora, toda a massa
age como se concentrada no centro:
Esse é o comportamento usual
para pontos externos.
Passo 8
Continuidade em
e verificação:
- Valor interno em
: . - Valor externo em
: .
Portantoé contínuo em . A derivada de pode ter descontinuidade (dentro é constante; fora varia como ).
Passo 9
Comportamento quando
e implicações físicas:
- Densidade:
diverge quando (comportamento ). - Massa interna:
quando (escala como ), logo a massa próxima ao centro vai a zero apesar da densidade divergir — a singularidade em densidade é suficientemente fraca para ter massa finita num pequeno volume. - Campo gravitacional:
tende a uma constante finita quando . Ou seja, apesar da densidade infinita, o campo no centro não diverge; ele permanece finito e igual ao valor constante interno. - Implicações físicas e interpretação: uma densidade que diverge em
é geralmente não física — no mundo real a matéria tem limites (pressões e interações) que impedem divergências. O modelo é uma idealização matemática útil porque produz relações simples (campo interno constante). Porém, perto de a hipótese de meio contínuo e a expressão deixam de ser confiáveis; seria necessário regularizar o perfil (por exemplo assumir um núcleo com densidade finita para ) ou usar física adicional (pressão, efeitos quânticos, etc.). Outro ponto: o potencial gravitacional associado a um constante se comporta como , logo a diferença de potencial vai linearmente a zero quando — finito e bem comportado.
Resposta
(a)
para
.
(b) Para
:
.
Para :
.
Para
(c) Quando
:
,
(escala
), e
(constante finita). Implicação física: o perfil tem uma singularidade de densidade não física no centro; o modelo precisa de regularização (núcleo com densidade finita) para representar um corpo real.