Q5. Perfil não uniforme: \rho(r)=\rho_{0} \frac{R}{r} (para 0<r \leq R ).
(a) Encontre a massa encerrada M_{\text {int }}(r).
(b) Determine g(r) para r<R e para r \geq R.
(c) Discuta o comportamento em r \rightarrow 0 e as implicações físicas.

Passo 1

O enunciado dá a densidade radial de uma esfera (válida para 0<r\le R):
\rho(r)=\rho_{0}\,\frac{R}{r}.
As perguntas são:
(a) Encontrar a massa encerrada M_{\text{int}}(r) para 0<r\le R.
(b) Determinar o módulo do campo gravitacional g(r) para as regiões r<R e r\ge R.
(c) Discutir o comportamento quando r\to 0 e as implicações físicas.
Informações relevantes e constantes que vamos usar:
  • r é a distância ao centro; R é o raio externo onde a densidade é definida.
  • \rho_0 é uma constante com unidades de densidade.
  • G é a constante gravitacional.
  • Para distribuições esfericamente simétricas vale que a massa efetiva que determina o campo em r é apenas a massa contida dentro de r (teorema da casca de Newton / forma integral abaixo).

Passo 2

Escolha do método e ideia física básica (sem pular passos):
  • Para achar M_{\text{int}}(r) usamos a definição de massa em coordenadas esféricas: a massa numa casca esférica de raio r' e espessura dr' é dm=\rho(r')\,dV=\rho(r')\,4\pi r'^2 dr'.
  • Logo a massa total dentro de r é a integral
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
  • Vou explicar cada termo: 4\pi r'^{2} dr' é o volume da casca fina; \rho(r') é a densidade nesse raio; integrar de 0 a r soma todas as cascas interiores.
  • Depois, para o campo gravitacional usaremos a lei de Newton (ou o teorema da casca): o módulo do campo em r é
g(r)=\frac{G\,M_{\text{enc}}(r)}{r^{2}},
onde M_{\text{enc}}(r) é a massa contida em r. Para r\ge R, M_{\text{enc}}(r)=M_{\text{tot}}=M_{\text{int}}(R).

Passo 3

Calculando M_{\text{int}}(r). Substituo a densidade dada na integral:
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}\left(\rho_{0}\frac{R}{r'}\right)dr'.
Agora simplifico a integranda: r'^{2}\cdot\frac{1}{r'}=r'. Assim
M_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0} R \int_{0}^{r} r'\,dr'.
Calculo a integral \int_{0}^{r} r'\,dr'=\dfrac{r^{2}}{2}. Portanto
M_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0} R \cdot \frac{r^{2}}{2}.

Passo 4

Simplificando o resultado da massa:
M_{\text{int}}(r)=2\pi \rho_{0} R\, r^{2},\qquad 0<r\le R.
Faço uma checagem dimensional rápida: \rho_{0} tem unidades de massa/volume, R\,r^{2} tem unidades de volume, então o produto tem unidades de massa — consistente.

Passo 5

Massa total da esfera (usada para r\ge R):
M_{\text{tot}}=M_{\text{int}}(R)=2\pi \rho_{0} R\, R^{2}=2\pi \rho_{0} R^{3}.

Passo 6

Campo gravitacional para r<R. Pela fórmula de Newton para campo devido à massa interna:
g(r)=\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}}.
Substituo M_{\text{int}}(r)=2\pi \rho_{0} R\, r^{2}:
g(r)=\frac{G\cdot 2\pi \rho_{0} R\, r^{2}}{r^{2}}=2\pi G \rho_{0} R.
Observação importante: os fatores r^{2} cancelam, então g(r) é independente de r dentro da esfera — é uma constante para 0<r<R.

Passo 7

Campo gravitacional para r\ge R. Para fora, toda a massa M_{\text{tot}} age como se concentrada no centro:
g(r)=\frac{G\,M_{\text{tot}}}{r^{2}}=\frac{G\cdot 2\pi \rho_{0} R^{3}}{r^{2}},\qquad r\ge R.
Esse é o comportamento usual g\propto 1/r^{2} para pontos externos.

Passo 8

Continuidade em r=R e verificação:
  • Valor interno em r=R: g(R^{-})=2\pi G \rho_{0} R.
  • Valor externo em r=R: g(R^{+})=\dfrac{G\cdot 2\pi \rho_{0} R^{3}}{R^{2}}=2\pi G \rho_{0} R.
    Portanto g(r) é contínuo em r=R. A derivada de g pode ter descontinuidade (dentro é constante; fora varia como r^{-2}).

Passo 9

Comportamento quando r\to 0 e implicações físicas:
  • Densidade: \rho(r)=\rho_{0}\dfrac{R}{r} diverge quando r\to 0 (comportamento \sim 1/r).
  • Massa interna: M_{\text{int}}(r)=2\pi \rho_{0} R\, r^{2}\to 0 quando r\to 0 (escala como r^{2}), logo a massa próxima ao centro vai a zero apesar da densidade divergir — a singularidade em densidade é suficientemente fraca para ter massa finita num pequeno volume.
  • Campo gravitacional: g(r)=2\pi G \rho_{0} R tende a uma constante finita quando r\to 0. Ou seja, apesar da densidade infinita, o campo no centro não diverge; ele permanece finito e igual ao valor constante interno.
  • Implicações físicas e interpretação: uma densidade que diverge em r=0 é geralmente não física — no mundo real a matéria tem limites (pressões e interações) que impedem divergências. O modelo é uma idealização matemática útil porque produz relações simples (campo interno constante). Porém, perto de r=0 a hipótese de meio contínuo e a expressão \rho\propto 1/r deixam de ser confiáveis; seria necessário regularizar o perfil (por exemplo assumir um núcleo com densidade finita para r<a) ou usar física adicional (pressão, efeitos quânticos, etc.). Outro ponto: o potencial gravitacional associado a um g constante se comporta como \Phi(r)-\Phi(0)=-\int_{0}^{r} g\,dr'=-g r, logo a diferença de potencial vai linearmente a zero quando r\to 0 — finito e bem comportado.

Resposta

(a) M_{\text{int}}(r)=2\pi \rho_{0} R\, r^{2} para 0<r\le R.
(b) Para r<R: g(r)=2\pi G \rho_{0} R.
Para r\ge R: g(r)=\dfrac{2\pi G \rho_{0} R^{3}}{r^{2}}.
(c) Quando r\to 0: \rho(r)\to\infty, M_{\text{int}}(r)\to 0 (escala \propto r^{2}), e g(r)\to 2\pi G \rho_{0} R (constante finita). Implicação física: o perfil tem uma singularidade de densidade não física no centro; o modelo precisa de regularização (núcleo com densidade finita) para representar um corpo real.

Exercícios relacionados