Q3. Campo constante dentro da esfera. Suponha que, para
, o módulo do campo seja constante e radial:
, com
constante. Encontre a densidade radial
que produz esse campo, (i) usando a equação de Poisson e (ii) usando diretamente a Lei de Gauss (via massa encerrada
). Compare os dois resultados.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
- Foi dada a forma do campo gravitacional para
:
com
constante. Aqui
é o versor radial (aponta para fora) e o sinal negativo indica que
aponta para o centro.
- Pede-se a densidade radial
que gera esse campo, por dois métodos:
(i) usando a equação de Poisson; (ii) usando diretamente a Lei de Gauss via a massa encerrada. - Também é pedido comparar os dois resultados (verificar consistência, comentários sobre comportamento em
etc.).
Passo 2
Breve lembrete/receita que vamos usar (o que é cada coisa):
- Potencial e campo: para gravidade define-se o potencial
tal que . - Equação de Poisson para gravitação:
onde
é a constante gravitacional e
é a densidade de massa. Substituindo
obtemos a forma útil
Aqui
é a divergência do campo e relaciona localmente a densidade.
- Lei de Gauss (versão para gravidade): fluxoda do campo através de uma superfície fechada vale
vezes a massa interna:
- Relação entre
e (simetria esférica):
Passo 3
Aplicando Poisson: cálculo da divergência do campo radial
- Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial
, a divergência é
Explicando:
é a quantidade cujo diferencial dá a variação do fluxo radial; dividir por
ajusta para densidade de fluxos por unidade de volume. Esta fórmula é padrão e fácil de memorizar/derivar a partir da definição.
Passo 4
Usando que
(constante, independente de
) para
:
- Compute a divergência:
- Agora use a relação
. Igualando:
- Resolva para
:
Comentário rápido: a densidade obtida é positiva (pois
) e decai como
.
Passo 5
Verificação integrando para achar
(cheque rápido da consistência)
- A massa interna a uma esfera de raio
é
Substituindo
:
- Este
é finito e bem comportado: e . Note que a densidade tem singular do tipo em , mas o fator na integral torna a massa finita (comportamento integrável).
Passo 6
Método (ii) — Lei de Gauss direta (cheque independente)
- Aplique
numa superfície esférica de raio (simetria esférica). - O elemento de área é
. Como ,
Integrando sobre
(sólido total
):
- Igualando à forma da Lei de Gauss:
Passo 7
Obter
a partir de
- Use a relação
- Com
obtém-se
então
- Resultado coincide exatamente com o obtido via Poisson.
Passo 8
Comparação e comentários físicos (interpretação amigável)
- Ambos os métodos dão a mesma densidade:
e a massa interna
- Observações físicas importantes:
-
diverge quando como , mas essa divergência é integrável: a massa até um raio vai como e portanto . Não há necessidade de um termo de massa puntual (delta) no centro. - Em
a massa total até a borda é . Fora da esfera (para ) o campo gravitacional gerado por essa massa seria o campo externo padrão , que coincide com na superfície (continuidade do campo). - Portanto o perfil
é matematicamente consistente com um campo radial de módulo constante no interior.
-