Q3. Campo constante dentro da esfera. Suponha que, para 0<r<R, o módulo do campo seja constante e radial: \mathbf{g}(r)=-g_{0} \hat{\mathbf{r}}, com g_{0}>0 constante. Encontre a densidade radial \rho(r) que produz esse campo, (i) usando a equação de Poisson e (ii) usando diretamente a Lei de Gauss (via massa encerrada M_{\text {int }}(r) ). Compare os dois resultados.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Foi dada a forma do campo gravitacional para 0<r<R:
\mathbf{g}(r) = -g_{0}\,\hat{\mathbf{r}},
com g_{0}>0 constante. Aqui \hat{\mathbf{r}} é o versor radial (aponta para fora) e o sinal negativo indica que \mathbf{g} aponta para o centro.
  • Pede-se a densidade radial \rho(r) que gera esse campo, por dois métodos:
    (i) usando a equação de Poisson; (ii) usando diretamente a Lei de Gauss via a massa encerrada M_{\text{int}}(r).
  • Também é pedido comparar os dois resultados (verificar consistência, comentários sobre comportamento em r\to0 etc.).

Passo 2

Breve lembrete/receita que vamos usar (o que é cada coisa):
  • Potencial e campo: para gravidade define-se o potencial \Phi tal que \mathbf{g}=-\nabla\Phi.
  • Equação de Poisson para gravitação:
\nabla^{2}\Phi = 4\pi G \rho,
onde G é a constante gravitacional e \rho(\mathbf{r}) é a densidade de massa. Substituindo \mathbf{g}=-\nabla\Phi obtemos a forma útil
\nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G \rho.
Aqui \nabla\cdot\mathbf{g} é a divergência do campo e relaciona localmente a densidade.
  • Lei de Gauss (versão para gravidade): fluxoda do campo através de uma superfície fechada vale -4\pi G vezes a massa interna:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}(r).
  • Relação entre M_{\text{int}}(r) e \rho(r) (simetria esférica):
M_{\text{int}}(r) = \int_{0}^{r} 4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr', \qquad \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dM_{\text{int}}}{dr}.

Passo 3

Aplicando Poisson: cálculo da divergência do campo radial
  • Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial \mathbf{g}=g_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}}, a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{g}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\bigl(r^{2} g_{r}(r)\bigr).
Explicando: r^{2}g_{r} é a quantidade cujo diferencial dá a variação do fluxo radial; dividir por r^{2} ajusta para densidade de fluxos por unidade de volume. Esta fórmula é padrão e fácil de memorizar/derivar a partir da definição.

Passo 4

Usando que g_{r}(r)=-g_{0} (constante, independente de r) para 0<r<R:
  • Compute a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{g}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\bigl(r^{2}(-g_{0})\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\bigl(-g_{0}r^{2}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\bigl(-g_{0}\cdot 2r\bigr) =-\frac{2g_{0}}{r}.
  • Agora use a relação \nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G \rho. Igualando:
-\frac{2g_{0}}{r} = -4\pi G \rho(r).
  • Resolva para \rho(r):
\rho(r) = \frac{2g_{0}}{4\pi G r} = \frac{g_{0}}{2\pi G r}, \qquad 0<r<R.
Comentário rápido: a densidade obtida é positiva (pois g_{0}>0) e decai como 1/r.

Passo 5

Verificação integrando para achar M_{\text{int}}(r) (cheque rápido da consistência)
  • A massa interna a uma esfera de raio r é
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\dfrac{g_{0}}{2\pi G r'}:
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\left(\frac{g_{0}}{2\pi G r'}\right)dr' =\frac{4\pi g_{0}}{2\pi G}\int_{0}^{r} r'\,dr' =\frac{2g_{0}}{G}\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{0}^{r} =\frac{g_{0} r^{2}}{G}.
  • Este M_{\text{int}}(r) é finito e bem comportado: M_{\text{int}}(0)=0 e M_{\text{int}}(r)\propto r^{2}. Note que a densidade tem singular do tipo 1/r em r\to0, mas o fator r^{2} na integral torna a massa finita (comportamento integrável).

Passo 6

Método (ii) — Lei de Gauss direta (cheque independente)
  • Aplique \displaystyle \oint_{S_{r}} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{\text{int}}(r) numa superfície esférica de raio r (simetria esférica).
  • O elemento de área é d\mathbf{A}=r^{2}d\Omega\,\hat{\mathbf{r}}. Como \mathbf{g}=-g_{0}\hat{\mathbf{r}},
\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}=(-g_{0}\hat{\mathbf{r}})\cdot(\hat{\mathbf{r}} r^{2}d\Omega) = -g_{0} r^{2} d\Omega.
Integrando sobre \Omega (sólido total 4\pi):
\oint_{S_{r}} \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -g_{0} r^{2}\cdot 4\pi = -4\pi g_{0} r^{2}.
  • Igualando à forma da Lei de Gauss:
-4\pi g_{0} r^{2} = -4\pi G M_{\text{int}}(r) \quad\Rightarrow\quad M_{\text{int}}(r)=\frac{g_{0} r^{2}}{G}.

Passo 7

Obter \rho(r) a partir de M_{\text{int}}(r)
  • Use a relação
\rho(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dM_{\text{int}}}{dr}.
  • Com M_{\text{int}}(r)=\dfrac{g_{0} r^{2}}{G} obtém-se
\frac{dM_{\text{int}}}{dr}=\frac{2g_{0} r}{G},
então
\rho(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\cdot\frac{2g_{0} r}{G} =\frac{2g_{0}}{4\pi G r} =\frac{g_{0}}{2\pi G r}.
  • Resultado coincide exatamente com o obtido via Poisson.

Passo 8

Comparação e comentários físicos (interpretação amigável)
  • Ambos os métodos dão a mesma densidade:
\rho(r)=\frac{g_{0}}{2\pi G r},\qquad 0<r<R,
e a massa interna
M_{\text{int}}(r)=\frac{g_{0} r^{2}}{G}.
  • Observações físicas importantes:
    • \rho(r) diverge quando r\to0 como 1/r, mas essa divergência é integrável: a massa até um raio r vai como r^{2} e portanto M_{\text{int}}(0)=0. Não há necessidade de um termo de massa puntual (delta) no centro.
    • Em r=R a massa total até a borda é M_{\text{tot}}=g_{0}R^{2}/G. Fora da esfera (para r>R) o campo gravitacional gerado por essa massa seria o campo externo padrão \mathbf{g}(r)=-\dfrac{GM_{\text{tot}}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} = -g_{0}\dfrac{R^{2}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}, que coincide com -g_{0}\hat{\mathbf{r}} na superfície r=R (continuidade do campo).
    • Portanto o perfil \rho\propto 1/r é matematicamente consistente com um campo radial de módulo constante no interior.

Resposta

\rho(r)=\dfrac{g_{0}}{2\pi G r} para 0<r<R.\n \displaystyle M_{\text{int}}(r)=\dfrac{g_{0} r^{2}}{G}.

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