Q6. Da lei de Poisson para a densidade a partir de um g(r) genérico. Considere um campo radial da forma \mathbf{g}(r)=-k r^{n} \hat{\mathbf{r}}, com k>0 e n \in \mathbb{R}.
(a) Use a relação \nabla \cdot \mathbf{g}=-4 \pi G \rho (simetria esférica) para obter \rho(r) em função de k e n.
(b) Para quais n a massa encerrada M_{\text {int }}(r) permanece finita quando r \rightarrow 0 ?

Passo 1

O enunciado dá um campo radial
\mathbf{g}(r) = -k\, r^{n}\,\hat{\mathbf{r}},
com k>0 e n\in\mathbb{R}, e pede:
(a) usar a relação \nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G \rho (assumindo simetria esférica) para obter \rho(r) em função de k e n;
(b) determinar para quais valores de n a massa interna M_{\text{int}}(r) permanece finita quando r\to 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • G é a constante gravitacional (constante positiva).
  • \rho(r) é a densidade de massa que queremos achar.
  • A divergência e a integração serão feitas em coordenadas esféricas, com simetria radial.

Passo 2

Fórmula útil (divergência de campo radial): para um campo radial da forma \mathbf{F}(r)=A(r)\,\hat{\mathbf{r}} vale a identidade
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}A(r)\bigr).
Explicando por que: em coordenadas esféricas, a contribuição angular se anula por simetria e sobra a derivada radial corrigida pelo fator de área 4\pi r^2; a expressão acima é a forma que captura essa variação radial corretamente. Aqui vamos aplicar essa fórmula com A(r)=-k r^{n}.

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{g} passo a passo:
r^{2}A(r)=r^{2}\bigl(-k r^{n}\bigr) = -k\, r^{n+2}.
Derivando em r:
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}A(r)\bigr)=\frac{d}{dr}\bigl(-k r^{n+2}\bigr) = -k(n+2)\, r^{n+1}.
Dividindo por r^{2} obtemos
\nabla\cdot\mathbf{g} = \frac{1}{r^{2}}\bigl[-k(n+2)\, r^{n+1}\bigr] = -k(n+2)\, r^{n-1}.

Passo 4

Usar a relação de Poisson \nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G \rho. Igualando as duas expressões:
- k(n+2)\, r^{n-1} = -4\pi G\, \rho(r).
Isolando \rho(r) (válido para r>0):
\rho(r) = \frac{k(n+2)}{4\pi G}\; r^{\,n-1},\qquad (r>0).
Observação importante sobre o caso n=-2: se n=-2 a expressão anterior dá o fator n+2=0 e a divergência é zero para todo r>0, logo \rho(r)=0 para r>0. Isso não impede a existência de massa concentrada no ponto r=0 (delta de Dirac) — esse caso precisa ser tratado separadamente.

Passo 5

Calcular a massa interna até raio r:
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi s^{2}\rho(s)\,ds.
Substituindo \rho(s)=\dfrac{k(n+2)}{4\pi G}\, s^{n-1} (caso n\neq -2):
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi s^{2}\cdot\frac{k(n+2)}{4\pi G}\, s^{n-1}\,ds = \frac{k(n+2)}{G}\int_{0}^{r} s^{n+1}\,ds.
Integrando (para n\neq -2):
\int_{0}^{r} s^{n+1}\,ds = \frac{r^{\,n+2}}{n+2},
portanto cancela o fator n+2 e obtemos
M_{\text{int}}(r)=\frac{k}{G}\, r^{\,n+2},\qquad (n\neq -2).

Passo 6

Analisar o comportamento de M_{\text{int}}(r) quando r\to 0:
  • Se n+2>0 (ou seja, n>-2), então \displaystyle r^{\,n+2}\xrightarrow[r\to 0]{}0. Logo M_{\text{int}}(r)\to 0 — a massa interna é finita (tende a zero).
  • Se n+2<0 (ou seja, n<-2), então \displaystyle r^{\,n+2}\xrightarrow[r\to 0]{}\infty. Logo M_{\text{int}}(r) diverge quando r\to 0.
  • Se n+2=0 (ou seja, n=-2), a fórmula usada acima não se aplica (integração direta dá um \ln singular se se usasse a forma de \rho obtida por cancelamento). Tratar n=-2 por Gauss: calcule o fluxo sobre esfera de raio r, \Phi=\oint \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}=(-k r^{-2})(4\pi r^{2}) = -4\pi k.Pela lei de Gauss gravitacional \Phi=-4\pi G M_{\text{int}}(r), portanto M_{\text{int}}(r)=\frac{k}{G}\quad\text{para todo }r>0.Isso significa massa finita concentrada no origem (uma densidade de tipo delta); não há divergência no total da massa interior, é um valor constante k/G.
Conclusão: a massa interna permanece finita quando r\to 0 se e somente se n\ge -2. Para n<-2 a massa interna diverge ao aproximar-se da origem.

Resposta

(a) \displaystyle \rho(r)=\frac{k(n+2)}{4\pi G}\;r^{\,n-1}\quad (r>0). Para n=-2 vale \rho(r)=0 para r>0 e há uma massa pontual M=\dfrac{k}{G} concentrada na origem.
(b) A massa encerrada permanece finita quando r\to 0 para \boxed{n\ge -2}.

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