Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Considere sobre V a norma que provém do produto interno. Prove a seguinte lei do paralelogramo
|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= usamos a norma induzida
|x| = raizlang<= x, xrang<=
Precisamos provar a lei do paralelogramo
|u+v|^2+|u-v|^2=2l(|u|^2+|v|^2r)
para quaisquer u,vin V. Vamos explorar a linearidade e a simetria do produto interno.

Passo 2

Calculemos |u+v|^2 a partir da definição:
|u+v|^2 = lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<=
Como o produto interno é simétrico ( lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=), isso vira
|u+v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u,vrang<= + |v|^2

Passo 3

De modo análogo, para |u-v|^2 temos:
|u-v|^2 = lang<= u-v,,u-vrang<= = lang<= u,urang<= - lang<= u,vrang<= - lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<= = |u|^2 - 2lang<= u,vrang<= + |v|^2

Passo 4

Agora somamos as duas expressões:
|u+v|^2 + |u-v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u,vrang<= + |v|^2) + (|u|^2 - 2lang<= u,vrang<= + |v|^2) = 2|u|^2 + 2|v|^2

Resposta

|u+v|^2+|u-v|^2=2l(|u|^2+|v|^2r)

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