Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Considere sobre
a norma que provém do produto interno. Prove a seguinte lei do paralelogramo
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial
com produto interno
usamos a norma induzida
Precisamos provar a lei do paralelogramo
para quaisquer
. Vamos explorar a linearidade e a simetria do produto interno.
Passo 2
Calculemos
a partir da definição:
Como o produto interno é simétrico (
), isso vira
Passo 3
De modo análogo, para
temos:
Passo 4
Agora somamos as duas expressões: