Use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz em R^3 para mostrar que, dados os números reais estritamente positivos x1, x2, x3, vale a desigualdade:
(x1+x2+x3) cdot(1x1+1x2+1x3) >= 9

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a desigualdade de Cauchy–Schwarz em R^3 para provar que, para x1,x2,x3>0, vale
l(x1+x2+x3r),l(tfrac1x1+tfrac1x2+tfrac1x3r)>=9
O conteúdo que vamos usar é a forma em R^3 da desigualdade de Cauchy–Schwarz:
llang<= u,vrrang<=^2;<=;llang<= u,urrang<=;llang<= v,vrrang<=,
onde lang<=cdot,cdotrang<= é o produto interno usual.

Passo 2

Escolhemos os vetores
u = l(raizx1,,raizx2,,raizx3r), v = l(tfrac1raizx1,,tfrac1raizx2,,tfrac1raizx3r)
Essa escolha faz com que os produtos internos lang<= u,urang<=, lang<= v,vrang<= e lang<= u,vrang<= envolvam exatamente as somas que aparecem na desigualdade a provar.

Passo 3

Vamos calcular cada produto interno:
llang<= u,urrang<= = (raizx1)^2+(raizx2)^2+(raizx3)^2 = x1+x2+x3,
llang<= v,vrrang<= = l(tfrac1raizx1r)^2 + l(tfrac1raizx2r)^2 + l(tfrac1raizx3r)^2 = tfrac1x1+tfrac1x2+tfrac1x3,
llang<= u,vrrang<= = raizx1;tfrac1raizx1 + raizx2;tfrac1raizx2 + raizx3;tfrac1raizx3 = 1+1+1 = 3

Passo 4

Aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
llang<= u,vrrang<=^2 ;<=; llang<= u,urrang<= ;llang<= v,vrrang<= Longrightarrow 3^2 ;<=; l(x1+x2+x3r) l(tfrac1x1+tfrac1x2+tfrac1x3r)
Como 3^2=9, obtemos exatamente
l(x1+x2+x3r) l(tfrac1x1+tfrac1x2+tfrac1x3r) >=9

Resposta

l(x1+x2+x3r) l(tfrac1x1+tfrac1x2+tfrac1x3r) >=9

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