Mostre que R^n, M(m times n) e F(X ; R) são espaços vetoriais. Considere as operações clássicas para cada conjunto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que três conjuntos — R^n, M(mtimes n) e F(X;R) — são espaços vetoriais sobre o corpo R.
Conteúdo: definição de espaço vetorial e validação dos axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade da adição, elemento neutro, inverso aditivo, compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar). Usaremos o fato de que R é um corpo e que em cada estrutura as operações são feitas “componente a componente” ou “valor a valor”.

Passo 2

Mostramos que R^n é espaço vetorial com as operações clássicas: para u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn) e a,binR definimos
u+v=(u1+v1,dots,un+vn), a,u=(a,u1,dots,a,un)
Fechamento: u+v e a,u têm n componentes em R.
Axiomas de adição:
u+v=v+u, u+(v+w)=(u+v)+w
seguem das propriedades de R componente a componente. O vetor zero é
0=(0,dots,0),
pois u+0=u, e o inverso de u é -u=(-u1,dots,-un).
Axiomas de multiplicação escalar:
a(bu)=(ab)u, 1,u=u,
a(u+v)=au+av, (a+b)u=au+bu,
também decorrem das propriedades distributivas, associativas e do elemento neutro em R.

Passo 3

Para M(mtimes n), o conjunto de todas as matrizes A=(aij) de tamanho mtimes n, adotamos a adição e multiplicação escalar “entrada a entrada”: se A=(aij) e B=(bij) então
(A+B)ij=aij+bij, (cA)ij=c,aij
Cada axioma de vetor se reduz a verificar a mesma propriedade em cada componente aij, o que é idêntico ao caso de R^n. O zero é a matriz 0ij=0; o inverso de A é -A com (-A)ij=-aij. Distributividade e associatividade seguem das de R.

Passo 4

Em F(X;R), o conjunto das funções fcolon XtoR, definimos para f,ginF(X;R) e cinR
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (c,f)(x)=ccdot f(x)
Fechamento: f+g e c,f são funções de X em R. O zero é a função 0(x)=0; o inverso de f é (-f)(x)=-f(x). Todos os axiomas (comutatividade, associatividade, neutro, inverso, compatibilidade e distributividades) seguem ponto a ponto das mesmas propriedades em R.

Resposta

Concluímos que, com as operações clássicas de adição e multiplicação escalar definidas componente a componente (ou valor a valor), R^n, M(mtimes n) e F(X;R) satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Portanto, cada um é de fato um espaço vetorial.

Exercícios relacionados