Mostre que
e
são espaços vetoriais. Considere as operações clássicas para cada conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que três conjuntos —
,
e
— são espaços vetoriais sobre o corpo
.
Conteúdo: definição de espaço vetorial e validação dos axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade da adição, elemento neutro, inverso aditivo, compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar). Usaremos o fato de que é um corpo e que em cada estrutura as operações são feitas “componente a componente” ou “valor a valor”.
Conteúdo: definição de espaço vetorial e validação dos axiomas (fechamento, associatividade, comutatividade da adição, elemento neutro, inverso aditivo, compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar). Usaremos o fato de que
Passo 2
Mostramos que
é espaço vetorial com as operações clássicas: para
,
e
definimos
Fechamento:
e
têm
componentes em
.
Axiomas de adição:
Axiomas de adição:
seguem das propriedades de
componente a componente. O vetor zero é
pois
, e o inverso de
é
.
Axiomas de multiplicação escalar:
Axiomas de multiplicação escalar:
também decorrem das propriedades distributivas, associativas e do elemento neutro em
.
Passo 3
Para
, o conjunto de todas as matrizes
de tamanho
, adotamos a adição e multiplicação escalar “entrada a entrada”: se
e
então
Cada axioma de vetor se reduz a verificar a mesma propriedade em cada componente
, o que é idêntico ao caso de
. O zero é a matriz
; o inverso de
é
com
. Distributividade e associatividade seguem das de
.
Passo 4
Em
, o conjunto das funções
, definimos para
e
Fechamento:
e
são funções de
em
. O zero é a função
; o inverso de
é
. Todos os axiomas (comutatividade, associatividade, neutro, inverso, compatibilidade e distributividades) seguem ponto a ponto das mesmas propriedades em
.
Resposta
Concluímos que, com as operações clássicas de adição e multiplicação escalar definidas componente a componente (ou valor a valor),
,
e
satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Portanto, cada um é de fato um espaço vetorial.