Seja
, onde
é um corpo. Mostre que se
e
com
um espaço vetorial, então
.
Passo 1
O enunciado está em um contexto de espaços vetoriais sobre um corpo
. Temos
e
com
espaço vetorial sobre
, e as hipóteses
e
.
O objetivo é mostrar que . Para isso vamos usar o fato de que em um corpo todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo, além das propriedades de associação escalares–vetores e do elemento neutro em
.
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
Como
, existe
tal que
. Multiplicando a igualdade
pelo escalar
e usando a associatividade, obtemos
e ao mesmo tempo
Logo
, o que contradiz a hipótese
.
Resposta
Portanto,
.