Seja alpha in K, onde K é um corpo. Mostre que se alpha neq 0 e v neq 0, v in V com V um espaço vetorial, então alpha v neq 0.

Passo 1

O enunciado está em um contexto de espaços vetoriais sobre um corpo K. Temos alphain K e vin V com V espaço vetorial sobre K, e as hipóteses
alphaneq 0 e vneq 0.
O objetivo é mostrar que alpha vneq 0. Para isso vamos usar o fato de que em um corpo todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo, além das propriedades de associação escalares–vetores e do elemento neutro em V.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
alpha v = 0
Como alphaneq 0, existe alpha^-1in K tal que alpha^-1alpha = 1. Multiplicando a igualdade alpha v=0 pelo escalar alpha^-1 e usando a associatividade, obtemos
alpha^-1(alpha v) = (alpha^-1alpha),v = 1,v = v,
e ao mesmo tempo
alpha^-10 = 0
Logo v=0, o que contradiz a hipótese vneq 0.

Resposta

Portanto, alpha v neq 0.

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