Resolva o sistema dd t u(t)=A u(t) onde A=[ll1 & 1 0 & 2] sujeito à condição inicial u(t=0)= (0,1). Para isso, efetue os passos da questão 1 da lista da aula 21.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDO linear
ddt,u(t)=A,u(t),
onde
A=1 & 1 0 & 2,
sujeito à condição inicial u(0)=(0,1).
O conteúdo é a resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes usando autovalores e autovetores para diagonalizar a matriz.

Passo 2

Vamos achar os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0.
A-lambda I=1-lambda & 1 0 & 2-lambda ;Longrightarrow; det(A-lambda I)=(1-lambda)(2-lambda)=0
Logo, os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2

Passo 3

Agora, para cada lambda achamos o autovetor v tal que (A-lambda I)v=0.
Para lambda1=1:
(A-I)v=0 ;Longrightarrow; 0 & 1 0 & 1 v1 v2=0 ;Longrightarrow; v2=0
Tomamos v^(1)=(1,0).
Para lambda2=2:
(A-2I)v=0 ;Longrightarrow; -1 & 1 0 & 0 v1 v2=0 ;Longrightarrow; v2=v1
Escolhemos v^(2)=(1,1).

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação dos modos e^lambda tv:
u(t) = C1,e^t10 + C2,e^2t11

Passo 5

Impondo u(0)=(0,1) temos
C110 + C211 =01,
que gera o sistema
C1 + C2 = 0, C2 = 1
Daí C2=1 e C1=-1.

Passo 6

Substituindo os coeficientes na solução geral:
u(t) = -e^t10 + e^2t11 = -e^t+e^2t[3pt]e^2t ]

Resposta

u(t)=e^2t-e^t[3pt]e^2t ]

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