Mostre que:
R não é homeomorfo a R^n (Dica: Tire um ponto de R e use conexidade)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe homeomorfismo entre R e R^n (com n>=2). O conteúdo é topologia geral, mais precisamente usar a propriedade de conexidade, que é preservada por homeomorfismos. A ideia é remover um ponto de cada espaço e comparar como fica a conectividade em cada caso.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um homeomorfismo
f:R;longrightarrow;R^n
Escolha um ponto ainR e defina b = f(a). Então a restrição de f a Rsetminusa dá um homeomorfismo
f|Rsetminusa;:;Rsetminusa ;longrightarrow; R^nsetminusb
Como homeomorfismos preservam conexidade, isso implica que Rsetminusa e R^nsetminusb devem ter o mesmo tipo de conectividade.

Passo 3

No caso de Rsetminusa temos
Rsetminusa = (-infty,a);cup;(a,infty),
e esses dois subconjuntos são abertos, não vazios, disjuntos e cobrem todo Rsetminusa. Logo, Rsetminusa é desconexo e possui exatamente duas componentes de conexão.

Passo 4

Já em R^nsetminusb para n>=2, mostraremos que é até arco-conexo (logo conexo). Dado quaisquer x,yinR^nsetminusb, se o segmento reto de x a y não passa por b, ele já é um arco que evita b. Caso contrário, escolhemos um ponto intermediário c fora da reta que une x e y. Como c não está nessa reta, os segmentos x!-!c e c!-!y não contêm b. A concatenação desses dois segmentos forma um caminho contínuo de x a y em R^nsetminusb. Assim, R^nsetminusb é conexo.

Passo 5

Chegamos a uma contradição: Rsetminusa é desconexo, enquanto R^nsetminusb é conexo, mas homeomorfismos devem preservar conexidade. Portanto não pode existir homeomorfismo entre R e R^n.

Resposta

Não existe homeomorfismo entre R e R^n para n>=2.

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