Mostre que:
não é homeomorfo a
(Dica: Tire um ponto de
e use conexidade)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe homeomorfismo entre
e
(com
). O conteúdo é topologia geral, mais precisamente usar a propriedade de conexidade, que é preservada por homeomorfismos. A ideia é remover um ponto de cada espaço e comparar como fica a conectividade em cada caso.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um homeomorfismo
Escolha um ponto
e defina
. Então a restrição de
a
dá um homeomorfismo
Como homeomorfismos preservam conexidade, isso implica que
e
devem ter o mesmo tipo de conectividade.
Passo 3
No caso de
temos
e esses dois subconjuntos são abertos, não vazios, disjuntos e cobrem todo
. Logo,
é desconexo e possui exatamente duas componentes de conexão.
Passo 4
Já em
para
, mostraremos que é até arco-conexo (logo conexo). Dado quaisquer
, se o segmento reto de
a
não passa por
, ele já é um arco que evita
. Caso contrário, escolhemos um ponto intermediário
fora da reta que une
e
. Como
não está nessa reta, os segmentos
e
não contêm
. A concatenação desses dois segmentos forma um caminho contínuo de
a
em
. Assim,
é conexo.
Passo 5
Chegamos a uma contradição:
é desconexo, enquanto
é conexo, mas homeomorfismos devem preservar conexidade. Portanto não pode existir homeomorfismo entre
e
.
Resposta
Não existe homeomorfismo entre
e
para
.