Nos problemas abaixo encontre a solução geral dos sistemas dados:
X^prime=(cr10 & -5 8 & -12) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo de EDOs
X' = A,X,
onde
A = 10 & -5[6pt]8 & -12
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes por autovalores e autovetores.]

Passo 2

Para achar os autovalores lambda calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!10-lambda & -5[3pt]8 & -12-lambda = (10-lambda)(-12-lambda)-(-5)cdot 8
Desenvolvendo,
(10-lambda)(-12-lambda)=lambda^2+2lambda-120,
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det(A-lambda I)=lambda^2+2lambda-120+40 =lambda^2+2lambda-80 ]

Passo 3

Resolvendo lambda^2+2lambda-80=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda =-2pmraiz2^2-4cdot1cdot(-80)2 =-2pmraiz3242 =-2pm182
Portanto os autovalores são
lambda1=8, lambda2=-10

Passo 4

Para resolvemos :
Escolhendo , um autovetor é
]

Passo 5

Para resolvemos :
Escolhendo , um autovetor é
]

Passo 6

Como temos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
X(t) =C1,v1,e^lambda1 t + C2,v2,e^lambda2 t

Resposta

X(t) =C152e^8t + C214e^-10t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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