Q 111 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=(2 x-5)^4(8 x^2-5)^3;

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=(2x-5)^4(8x^2-5)^3
Aqui o conteúdo principal é derivação de quociente e função composta. Vamos usar diferenciação logarítmica para facilitar: aplicamos logaritmo, derivamos ambos os lados e depois voltamos ao f'.

Passo 2

Tomamos o logaritmo de f(x):
ln f(x)=lnl((2x-5)^4r)-lnl((8x^2-5)^3r) =4,ln(2x-5)-3,ln(8x^2-5)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da cadeia:
f'(x)f(x) =4cdot(2x-5)'2x-5-3cdot(8x^2-5)'8x^2-5 =4cdot22x-5-3cdot16x8x^2-5
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f'(x)f(x) =82x-5-48x8x^2-5

Passo 4

Isolando f'(x), temos
f'(x) =f(x),l(82x-5-48x8x^2-5r) =(2x-5)^4(8x^2-5)^3 l(82x-5-48x8x^2-5r)

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
82x-5-48x8x^2-5 =8(8x^2-5)-48x(2x-5)(2x-5)(8x^2-5) =64x^2-40-96x^2+240x(2x-5)(8x^2-5) =-32x^2+240x-40(2x-5)(8x^2-5)
Observe que -32x^2+240x-40=8(-4x^2+30x-5). Assim
f'(x) =(2x-5)^4(8x^2-5)^3 cdot8(-4x^2+30x-5)(2x-5)(8x^2-5) =8(2x-5)^3(-4x^2+30x-5)(8x^2-5)^4

Resposta

f'(x) =8(2x-5)^3,l(-4x^2+30x-5r)(8x^2-5)^4

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