Mostre que raiz2 e raiz3 são irracionais.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que raiz2 e raiz3 são números irracionais, ou seja, não podem ser escritos como razão de dois inteiros. Vamos usar definição de número racional e prova por contradição baseada em propriedades de divisibilidade em Z.

Passo 2

Supondo, por contradição, que raiz2 seja racional, podemos escrever
raiz2 = pq
onde p e q são inteiros sem fatores comuns ( gcd(p,q)=1). Elevando ao quadrado, obtém-se
p^2 = 2q^2
Daí, p^2 é par, então p é par; escrevendo p=2k, temos
(2k)^2 = 2q^2 implies 4k^2 = 2q^2 implies q^2 = 2k^2
Isso mostra que q^2 também é par, logo q é par. Concluímos que p e q são ambos pares, contradizendo gcd(p,q)=1. Portanto raiz2 é irracional.

Passo 3

De modo análogo, suponha que raiz3 seja racional e escreva
raiz3 = pq, gcd(p,q)=1
Elevando ao quadrado,
p^2 = 3q^2
Isso implica que p^2 é múltiplo de 3 e, portanto, p é múltiplo de 3 (se um primo divide o quadrado, divide o número). Seja p=3k. Então
(3k)^2 = 3q^2 implies 9k^2 = 3q^2 implies q^2 = 3k^2,
logo q também é múltiplo de 3, contradizendo gcd(p,q)=1. Assim raiz3 é irracional.

Resposta

As demonstrações mostram que nem raiz2 nem raiz3 podem ser escritos como razão de inteiros, logo ambos são irracionais.

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