Mostre que
e
são irracionais.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que
e
são números irracionais, ou seja, não podem ser escritos como razão de dois inteiros. Vamos usar definição de número racional e prova por contradição baseada em propriedades de divisibilidade em
.
Passo 2
Supondo, por contradição, que
seja racional, podemos escrever
onde
e
são inteiros sem fatores comuns (
). Elevando ao quadrado, obtém-se
Daí,
é par, então
é par; escrevendo
, temos
Isso mostra que
também é par, logo
é par. Concluímos que
e
são ambos pares, contradizendo
. Portanto
é irracional.
Passo 3
De modo análogo, suponha que
seja racional e escreva
Elevando ao quadrado,
Isso implica que
é múltiplo de 3 e, portanto,
é múltiplo de 3 (se um primo divide o quadrado, divide o número). Seja
. Então
logo
também é múltiplo de 3, contradizendo
. Assim
é irracional.
Resposta
As demonstrações mostram que nem
nem
podem ser escritos como razão de inteiros, logo ambos são irracionais.