Um número inteiro x é ímpar se puder ser escrito da forma 2 k+1 para algum k in Z. Mostre que, se x é ímpar, então x^2 também é ímpar.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que se um número inteiro é ímpar, ou seja, pode ser escrito como para algum inteiro , então o quadrado desse número, , também é ímpar. Para isso, vamos usar o conceito de números ímpares e realizar operações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que x = 2k + 1 é um número ímpar. Isso significa que podemos escrever da seguinte forma:
onde é um número inteiro.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de x^2 = (2k + 1)^2 :
Para resolver isso, vamos expandir o quadrado usando a fórmula .

Passo 4

Aplicando a fórmula de expansão:
x^2 = (2k)^2 + 2 times 2k times 1 + 1^2
x^2 = 4k^2 + 4k + 1

Passo 5

Vamos fatorar o termo 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k) = 2 times 2(k^2 + k) :
4k^2 + 4k = 2m
Observe que é um número inteiro, já que é inteiro. Vamos chamar esse inteiro de :
onde .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de x^2 = 2m + 1 :
Essa expressão mostra que é da forma , onde é um inteiro.

Resposta

Portanto, se é ímpar, então também é ímpar.

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