Mostre que as raízes da equação cos z=3 são z=2 pi k-i ln (3 pm 2 raiz2), onde k=0, pm 1, pm 2, ldots

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções da equação
cos z = 3,
onde z é uma variável complexa. Vamos usar a definição exponencial de cosseno e reduzir o problema a uma equação em termos de e^w, com w=i,z.

Passo 2

Usando
cos z = e^i z + e^-i z2,
a equação cos z=3 fica
e^i z + e^-i z2 = 3 Longrightarrow e^i z + e^-i z = 6
Defina w = i z. Então e^i z=e^w e e^-i z=e^-w, e a equação vira
e^w + e^-w = 6

Passo 3

Multiplicando por e^w, obtemos a equação quadrática em y=e^w:
y^2 - 6y + 1 = 0
As raízes são
y = 3 pm raiz9 - 1 = 3 pm 2raiz2
Logo
e^w = 3 pm 2raiz2
Tomando logaritmo complexo geral,
w = lnl(3 pm 2raiz2r) + 2pi i k, kinZ

Passo 4

Lembrando w = i z, temos
i z = lnl(3 pm 2raiz2r) + 2pi i k Longrightarrow z = lnl(3 pm 2raiz2r)i + 2pi k
Como 1/i = -,i, isso dá
z = 2pi k ;-; i,lnl(3 pm 2raiz2r)

Resposta

z = 2pi k - i ,lnl(3 pm 2raiz2r), k = 0,pm1,pm2,dots

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