Questão 02: Transformada de Fourier e Óptica [2,5 pontos]

Em uma cavidade ressonante composta por dois espelhos quase 100 % refletores, como a de um laser, a superposição das duas ondas viajando em sentidos contrários produz um padrão de onda estacionária, cujo campo elétrico, de frequência omega0, é dado por
E(t)=E0 e^-omega0 t / 2 Q e^-i omega0 t, para t>0
Considere E(t)=0 para t<0 E0 é a amplitude do campo e o parâmetro Q é uma medida da razão entre a energia armazenada e perda de energia por ciclo (fator de qualidade da cavidade). Mostre que o espectro de potência da onda emitida pelo laser, isto é, |tildeE(omega)|^2, é dado por
|tildeE(omega)|^2=E0^2(omega-omega0)^2+(omega0 / 2 Q)^2

Passo 1

O enunciado nos dá um campo elétrico amortecido
E(t)= E0,e^-omega02Q,t,e^-iomega0t,&t>0, 0,&t<0,
e pede o espectro de potência |tildeE(omega)|^2. Vamos usar a definição de transformada de Fourier
tildeE(omega)=integral-infty^inftyE(t),e^iomega t,dt
e a integral de uma exponencial decrescente, sabendo que
integral0^inftye^-at,dt=1a(Re a>0)

Passo 2

Escrevemos a transformada só sobre t>0, pois E(t)=0 para t<0. Defina
gamma=omega02Q
Então
tildeE(omega) = integral0^inftyE0,e^-gamma t,e^-iomega0t,e^iomega t,dt =E0integral0^inftye^-l(gamma +i(omega0-omega)r)t,dt

Passo 3

Usando a fórmula da integral, com a=gamma+i(omega0-omega) e Re a=gamma>0, temos
tildeE(omega) =E0,1gamma +i(omega0-omega) =E0gamma -i(omega-omega0)

Passo 4

O espectro de potência é o módulo ao quadrado:
|tildeE(omega)|^2 =E0^2l[gammar]^2+l(omega-omega0r)^2 =E0^2l(omega-omega0r)^2+l(tfracomega02Qr)^2

Resposta

|tildeE(omega)|^2 =E0^2l(omega-omega0r)^2+l(omega0/2Qr)^2

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