Mostre que a rede de Bravais cúbica de face centrada com célula cúbica convencional de lado a tem como sua recíproca uma rede cúbica de corpo centrado com célula cúbica convencional de lado 4 \pi / a.
Passo 1
O enunciado dá uma rede de Bravais cúbica de faces centradas (FCC) com célula cúbica convencional de lado a e pede para mostrar que a sua rede recíproca é uma rede cúbica de corpo centrado (BCC) com célula cúbica convencional de lado 4\pi/a.
Informações relevantes fornecidas:
A rede direta é FCC com parâmetro de rede da célula convencional igual a \,a.
O que se pede: identificar a rede recíproca (tipo e parâmetro da sua célula cúbica convencional).
Passo 2
Definir vetores primitivos da rede direta FCC.
Explicação rápida (didática): uma rede de Bravais pode ser descrita por três vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 que geram toda a rede por combinações inteiras. Para a FCC é conveniente escolher vetores primitivos que ocupem as diagonais das faces; uma escolha comum é:
Aqui cada parêntese representa as componentes cartesianas (x,y,z) em unidades de comprimento; por exemplo \mathbf{a}_1 tem componente x=0, y=a/2, z=a/2.
Passo 3
Definir a rede recíproca e a fórmula dos vetores recíprocos.
Explicação didática: a rede recíproca é gerada por três vetores \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3 definidos de forma que \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j = 2\pi\,\delta_{ij}, onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=j e 0 caso contrário). Uma forma prática de calcular é usar:
Na fórmula acima, o denominador V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o volume da célula primitiva direta (volume do paralelogramo formado pelos primitivos). Cada produto vetorial \times e produto escalar \cdot segue as definições usuais em coordenadas cartesianas.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3.
Fazendo as contas com as componentes dadas:
Explanação do cálculo: cada componente vem do determinante das submatrizes correspondentes (regra da Sarrus / expansão por cofactores). Por exemplo, componente x é 0\cdot0 - \tfrac{a}{2}\cdot\tfrac{a}{2} = -\tfrac{a^2}{4}.]
Passo 5
Calcular o volume primitivo V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3).
Usando \mathbf{a}_1 = \left(0,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right) e o resultado do passo anterior:
Interpretação: o volume da célula primitiva FCC é \tfrac{a^3}{4}, conhecido resultado (a célula convencional cúbica de volume a^3 contém 4 átomos na FCC, daí a relação).
Passo 6
Calcular \mathbf{b}_1 usando a fórmula do passo 3.
Substituindo \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 e V:
Verificação rápida: esses vetores satisfazem \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j = 2\pi\,\delta_{ij} (pode-se conferir multiplicando), então são os vetores recíprocos corretos.
Passo 8
Mostrar que esses \mathbf{b}_i são primitivos de uma rede BCC e identificar o parâmetro da célula cúbica convencional recíproca.
Observação: os vetores primitivos de uma rede BCC com célula cúbica convencional de lado A podem ser escolhidos como, por exemplo,
se escolhermos \displaystyle A=\frac{4\pi}{a}. O mesmo vale para \mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3. Portanto os \mathbf{b}_i são exatamente os vetores primitivos de uma BCC cujo parâmetro de rede da célula cúbica convencional é \,A=\dfrac{4\pi}{a}.
Explicação concreta: escrevendo cada \mathbf{b}_i como \mathbf{b}_i=\dfrac{A}{2}(\cdots) com o mesmo A chegamos ao valor A=4\pi/a. Assim a rede recíproca é uma BCC com célula cúbica convencional de lado \,4\pi/a.
Passo 9
Comentário final e intuição física (didática e motivadora).
Resumo: começando com os primitivos FCC, calculamos explicitamente os vetores recíprocos \mathbf{b}_i via produtos vetoriais e volume primitivo. O resultado leva diretamente à forma padrão dos primitivos de uma BCC, com parâmetro de rede convencional \,4\pi/a. É uma relação clássica e útil: a recíproca de FCC é BCC (e recíproca de BCC é FCC), e o fator 4\pi/a aparece porque os vetores recíprocos carregam o fator 2\pi e o volume primitivo FCC é \tfrac{a^3}{4}.
Resposta
A rede recíproca é uma rede cúbica de corpo centrado (BCC) cuja célula cúbica convencional tem lado \displaystyle \frac{4\pi}{a}.