Mostre que a rede de Bravais cúbica de face centrada com célula cúbica convencional de lado a tem como sua recíproca uma rede cúbica de corpo centrado com célula cúbica convencional de lado 4 \pi / a.

Passo 1

O enunciado dá uma rede de Bravais cúbica de faces centradas (FCC) com célula cúbica convencional de lado a e pede para mostrar que a sua rede recíproca é uma rede cúbica de corpo centrado (BCC) com célula cúbica convencional de lado 4\pi/a.
Informações relevantes fornecidas:
  • A rede direta é FCC com parâmetro de rede da célula convencional igual a \,a.
  • O que se pede: identificar a rede recíproca (tipo e parâmetro da sua célula cúbica convencional).

Passo 2

Definir vetores primitivos da rede direta FCC.
Explicação rápida (didática): uma rede de Bravais pode ser descrita por três vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 que geram toda a rede por combinações inteiras. Para a FCC é conveniente escolher vetores primitivos que ocupem as diagonais das faces; uma escolha comum é:
\mathbf{a}_1 = \left(0,\;\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}\right),\qquad \mathbf{a}_2 = \left(\frac{a}{2},\;0,\;\frac{a}{2}\right),\qquad \mathbf{a}_3 = \left(\frac{a}{2},\;\frac{a}{2},\;0\right).
Aqui cada parêntese representa as componentes cartesianas (x,y,z) em unidades de comprimento; por exemplo \mathbf{a}_1 tem componente x=0, y=a/2, z=a/2.

Passo 3

Definir a rede recíproca e a fórmula dos vetores recíprocos.
Explicação didática: a rede recíproca é gerada por três vetores \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3 definidos de forma que \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j = 2\pi\,\delta_{ij}, onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=j e 0 caso contrário). Uma forma prática de calcular é usar:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}.
Na fórmula acima, o denominador V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o volume da célula primitiva direta (volume do paralelogramo formado pelos primitivos). Cada produto vetorial \times e produto escalar \cdot segue as definições usuais em coordenadas cartesianas.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3.
Fazendo as contas com as componentes dadas:
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] \frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2}\\[4pt] \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \end{vmatrix} = \left(-\frac{a^2}{4},\;\frac{a^2}{4},\;\frac{a^2}{4}\right).
Explanação do cálculo: cada componente vem do determinante das submatrizes correspondentes (regra da Sarrus / expansão por cofactores). Por exemplo, componente x é 0\cdot0 - \tfrac{a}{2}\cdot\tfrac{a}{2} = -\tfrac{a^2}{4}.]

Passo 5

Calcular o volume primitivo V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3).
Usando \mathbf{a}_1 = \left(0,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right) e o resultado do passo anterior:
V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = 0\cdot\!\left(-\tfrac{a^2}{4}\right) + \tfrac{a}{2}\cdot\!\tfrac{a^2}{4} + \tfrac{a}{2}\cdot\!\tfrac{a^2}{4} = \frac{a^3}{8} + \frac{a^3}{8} = \frac{a^3}{4}.
Interpretação: o volume da célula primitiva FCC é \tfrac{a^3}{4}, conhecido resultado (a célula convencional cúbica de volume a^3 contém 4 átomos na FCC, daí a relação).

Passo 6

Calcular \mathbf{b}_1 usando a fórmula do passo 3.
Substituindo \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 e V:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\left(-\tfrac{a^2}{4},\;\tfrac{a^2}{4},\;\tfrac{a^2}{4}\right)}{\tfrac{a^3}{4}} = 2\pi\left(-\frac{1}{a},\;\frac{1}{a},\;\frac{1}{a}\right) = \frac{2\pi}{a}\,(-1,\,1,\,1).
Explicação: ao dividir cada componente por V=\tfrac{a^3}{4} o fator \tfrac{a^2}{4} cancela dando 1/a.

Passo 7

Calcular \mathbf{b}_2 e \mathbf{b}_3 por simetria/mesmo procedimento.
Fazendo as contas análogas (ou permutando índices) obtém-se:
\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\,(1,\,-1,\,1),\qquad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{a}\,(1,\,1,\,-1).
Verificação rápida: esses vetores satisfazem \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j = 2\pi\,\delta_{ij} (pode-se conferir multiplicando), então são os vetores recíprocos corretos.

Passo 8

Mostrar que esses \mathbf{b}_i são primitivos de uma rede BCC e identificar o parâmetro da célula cúbica convencional recíproca.
Observação: os vetores primitivos de uma rede BCC com célula cúbica convencional de lado A podem ser escolhidos como, por exemplo,
\mathbf{t}_1 = \frac{A}{2}\,(-1,\,1,\,1),\qquad \mathbf{t}_2 = \frac{A}{2}\,(1,\,-1,\,1),\qquad \mathbf{t}_3 = \frac{A}{2}\,(1,\,1,-1).
Compare com os \mathbf{b}_i obtidos:
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\,(-1,1,1) = \frac{4\pi}{a}\cdot\frac{1}{2}(-1,1,1) = \frac{A}{2}(-1,1,1)
se escolhermos \displaystyle A=\frac{4\pi}{a}. O mesmo vale para \mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3. Portanto os \mathbf{b}_i são exatamente os vetores primitivos de uma BCC cujo parâmetro de rede da célula cúbica convencional é \,A=\dfrac{4\pi}{a}.
Explicação concreta: escrevendo cada \mathbf{b}_i como \mathbf{b}_i=\dfrac{A}{2}(\cdots) com o mesmo A chegamos ao valor A=4\pi/a. Assim a rede recíproca é uma BCC com célula cúbica convencional de lado \,4\pi/a.

Passo 9

Comentário final e intuição física (didática e motivadora).
Resumo: começando com os primitivos FCC, calculamos explicitamente os vetores recíprocos \mathbf{b}_i via produtos vetoriais e volume primitivo. O resultado leva diretamente à forma padrão dos primitivos de uma BCC, com parâmetro de rede convencional \,4\pi/a. É uma relação clássica e útil: a recíproca de FCC é BCC (e recíproca de BCC é FCC), e o fator 4\pi/a aparece porque os vetores recíprocos carregam o fator 2\pi e o volume primitivo FCC é \tfrac{a^3}{4}.

Resposta

A rede recíproca é uma rede cúbica de corpo centrado (BCC) cuja célula cúbica convencional tem lado \displaystyle \frac{4\pi}{a}.

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