Mostre que a rede de Bravais cúbica simples de lado
tem como sua recíproca uma rede cúbica simples com célula primitiva cúbica de lado
.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos dado. O enunciado pede para mostrar que a rede de Bravais cúbica simples de lado
tem como recíproca outra rede cúbica simples cuja célula primitiva é cúbica de lado
.
Informações relevantes fornecidas (ou que podemos tomar sem perda de generalidade):
- A rede direta é a cúbica simples com parâmetro de rede
. - Podemos escolher vetores primitivos da rede direta como
onde
são os vetores unitários ortogonais.
- O que precisamos provar: os vetores primitivos da rede recíproca correspondem a uma rede cúbica simples com lado
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicada de forma didática). A rede recíproca de uma rede de Bravais é o conjunto de vetores
tais que
para todo vetor de rede
da rede direta. Uma forma prática e padrão de obter os vetores primitivos da rede recíproca é usar as fórmulas
Explicando os termos:
-
são os vetores primitivos da rede direta. -
é o produto vetorial que dá um vetor perpendicular aos planos formados por e ; o comprimento desse vetor é a área do paralelogramo definido por . -
é o produto misto (produto escalar de com o produto vetorial), que dá o volume da célula primitiva direta (volume da paralelepípedo formado por ). - O fator
aparece porque a condição equivale a exigir inteiro para todos os , então os vetores são definidos com esse para dar a normalização padrão .
Passo 3
Cálculo explícito dos produtos vetoriais e do produto misto usando os vetores escolhidos. Primeiro calculemos
. Como
temos
Sabendo que
, obtemos
De modo análogo,
pois
, e
Agora o produto misto (volume da célula):
Portanto o volume primitivo é
, como esperado para um cubo de lado
.
Passo 4
Calcular os vetores primitivos recíprocos usando as fórmulas. Substituindo nos formulas do passo 2:
Cada
é um vetor ao longo do mesmo eixo correspondente, com módulo
.
Passo 5
Verificação rápida da propriedade de ortogonalidade e conclusão sobre a forma da rede recíproca. Verificamos que
onde
denote
. Isso confirma que os
estão corretamente normalizados.
Como os vetores primitivos recíprocos são três vetores mutuamente ortogonais de mesmo comprimento
, a rede recíproca é uma rede cúbica simples cuja célula primitiva é um cubo de aresta
.
Resposta
A rede recíproca é uma rede cúbica simples com vetores primitivos
,
,
; portanto a célula primitiva é cúbica de lado
.