Mostre que a rede de Bravais cúbica simples de lado a tem como sua recíproca uma rede cúbica simples com célula primitiva cúbica de lado 2 \pi / a.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos dado. O enunciado pede para mostrar que a rede de Bravais cúbica simples de lado a tem como recíproca outra rede cúbica simples cuja célula primitiva é cúbica de lado \tfrac{2\pi}{a}.
Informações relevantes fornecidas (ou que podemos tomar sem perda de generalidade):
  • A rede direta é a cúbica simples com parâmetro de rede a.
  • Podemos escolher vetores primitivos da rede direta como
\mathbf{a}_1 = a\,\hat{x},\qquad \mathbf{a}_2 = a\,\hat{y},\qquad \mathbf{a}_3 = a\,\hat{z},
onde \hat{x},\hat{y},\hat{z} são os vetores unitários ortogonais.
  • O que precisamos provar: os vetores primitivos da rede recíproca correspondem a uma rede cúbica simples com lado \tfrac{2\pi}{a}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicada de forma didática). A rede recíproca de uma rede de Bravais é o conjunto de vetores \mathbf{G} tais que
e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1
para todo vetor de rede \mathbf{R} da rede direta. Uma forma prática e padrão de obter os vetores primitivos da rede recíproca é usar as fórmulas
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}.
Explicando os termos:
  • \mathbf{a}_i são os vetores primitivos da rede direta.
  • \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 é o produto vetorial que dá um vetor perpendicular aos planos formados por \mathbf{a}_2 e \mathbf{a}_3; o comprimento desse vetor é a área do paralelogramo definido por \mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3.
  • \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o produto misto (produto escalar de \mathbf{a}_1 com o produto vetorial), que dá o volume da célula primitiva direta (volume da paralelepípedo formado por \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3).
  • O fator 2\pi aparece porque a condição e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 equivale a exigir \mathbf{G}\cdot\mathbf{R}=2\pi\times inteiro para todos os \mathbf{R}, então os vetores \mathbf{b}_i são definidos com esse 2\pi para dar a normalização padrão \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}.

Passo 3

Cálculo explícito dos produtos vetoriais e do produto misto usando os vetores escolhidos. Primeiro calculemos \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3. Como
\mathbf{a}_2 = a\,\hat{y},\qquad \mathbf{a}_3 = a\,\hat{z},
temos
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = (a\,\hat{y})\times(a\,\hat{z}) = a^2\,(\hat{y}\times\hat{z}).
Sabendo que \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, obtemos
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = a^2\,\hat{x}.
De modo análogo,
\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1 = (a\,\hat{z})\times(a\,\hat{x})=a^2\,(\hat{z}\times\hat{x})=a^2\,\hat{y},
pois \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}, e
\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2 = (a\,\hat{x})\times(a\,\hat{y})=a^2\,(\hat{x}\times\hat{y})=a^2\,\hat{z}.
Agora o produto misto (volume da célula):
\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = (a\,\hat{x})\cdot(a^2\,\hat{x}) = a^3\,(\hat{x}\cdot\hat{x}) = a^3.
Portanto o volume primitivo é a^3, como esperado para um cubo de lado a.

Passo 4

Calcular os vetores primitivos recíprocos usando as fórmulas. Substituindo nos formulas do passo 2:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{a^2\,\hat{x}}{a^3} = 2\pi\,\frac{1}{a}\,\hat{x} = \frac{2\pi}{a}\,\hat{x},
\mathbf{b}_2 = 2\pi\,\frac{a^2\,\hat{y}}{a^3} = \frac{2\pi}{a}\,\hat{y},
\mathbf{b}_3 = 2\pi\,\frac{a^2\,\hat{z}}{a^3} = \frac{2\pi}{a}\,\hat{z}.
Cada \mathbf{b}_i é um vetor ao longo do mesmo eixo correspondente, com módulo \tfrac{2\pi}{a}.

Passo 5

Verificação rápida da propriedade de ortogonalidade e conclusão sobre a forma da rede recíproca. Verificamos que
\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = a\,\hat{e}_i\cdot\frac{2\pi}{a}\,\hat{e}_j = 2\pi\,(\hat{e}_i\cdot\hat{e}_j)=2\pi\,\delta_{ij},
onde \hat{e}_i denote \hat{x},\hat{y},\hat{z}. Isso confirma que os \mathbf{b}_i estão corretamente normalizados.
Como os vetores primitivos recíprocos são três vetores mutuamente ortogonais de mesmo comprimento \tfrac{2\pi}{a}, a rede recíproca é uma rede cúbica simples cuja célula primitiva é um cubo de aresta \tfrac{2\pi}{a}.

Resposta

A rede recíproca é uma rede cúbica simples com vetores primitivos \mathbf{b}_1=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{x}, \mathbf{b}_2=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{y}, \mathbf{b}_3=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{z}; portanto a célula primitiva é cúbica de lado \dfrac{2\pi}{a}.

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