Mostre que para uma rede de difração o ângulo mínimo de abertura da interferência construtiva é dado por:
\theta_{\min }=\operatorname{arcsen} \frac{\lambda}{N d}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma rede de difração com N fendas igualmente espaçadas por uma distância d e iluminada por luz monocromática de comprimento de onda \lambda, o ângulo mínimo de abertura da interferência construtiva é
\theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}.
Informações dadas e o que precisa aparecer na dedução:
  • N = número de fendas da rede.
  • d = separação entre fendas (distância entre centros de fendas adjacentes).
  • \lambda = comprimento de onda da luz incidente.
  • Queremos encontrar o menor ângulo \theta (medido a partir da normal) que descreve a “largura” mínima de uma máxima principal de interferência — isto é, a posição do primeiro mínimo ao redor de uma máxima principal, que define a abertura da máxima.

Passo 2

Primeiro vamos modelar a contribuição de cada fenda em termos de fase. A diferença de caminho entre ondas vindas de fendas adjacentes, quando observadas sob um ângulo \theta, é d\sin\theta. Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase \delta entre ondas de fendas consecutivas dada por
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Explicação didática: a fase progride 2\pi quando o caminho cresce \lambda; logo uma diferença de caminho d\sin\theta dá fase (2\pi/\lambda)\,d\sin\theta. Isso é essencial porque a soma das ondas de todas as fendas é sensível a essas diferenças de fase.

Passo 3

Agora somamos as contribuições das N fendas. Representando cada onda como um vetor (fasor) complexo com mesma amplitude a mas com fase escalonada em \delta, a soma das amplitudes é uma série geométrica complexa:
A(\theta)=a\left(1+e^{i\delta}+e^{i2\delta}+\cdots+e^{i(N-1)\delta}\right).
Somando a série geométrica obtemos (fórmula de soma):
A(\theta)=a\frac{1-e^{iN\delta}}{1-e^{i\delta}}.
A intensidade observada é proporcional ao quadrado do módulo da amplitude:
I(\theta)\propto |A(\theta)|^{2}.

Passo 4

Para simplificar a expressão do módulo usamos manipulação trigonométrica-padrão. Definimos
\beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}.
Usando identidades complexas e trigonométricas (e lembrando que |1-e^{iN\delta}|=2\left|\sin(N\beta)\right| e |1-e^{i\delta}|=2\left|\sin\beta\right|), chega-se à forma conhecida
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin(N\beta)}{\sin\beta}\right)^{2},
onde I_0 é a intensidade de uma única fenda (ou outra constante de proporção). Explicação didática: a razão \sin(N\beta)/\sin\beta surge porque a soma de N vetores igualmente espaçados em fase forma um polígono cujo módulo é dado por essa razão — para N grande isso gera máximos muito estreitos.

Passo 5

As máximas principais ocorrem quando o numerador atinge valores proporcionais a N: isso acontece quando
N\beta = m\pi \quad\Rightarrow\quad \beta=m\pi
para algum inteiro m. Em termos de \theta isso dá a condição usual dos máximos
d\sin\theta = m\lambda,
que são as direções das máximas de ordem m. Explicação didática: em \beta=m\pi o denominador \sin\beta também pode ser zero, mas o limite é finito e fornece a máxima com intensidade proporcional a N^{2}.

Passo 6

Agora vamos achar os mínimos que delimitam a máxima principal — esses mínimos vêm das zeros do numerador \sin(N\beta)=0 que não coincidem com a condição da máxima. As zeros do numerador ocorrem quando
N\beta = p\pi \quad\text{(com \(p\) inteiro)} \quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{p\pi}{N}.
Considere a máxima correspondente a m (ou, no caso central, m=0). Os zeros do numerador mais próximos dessa máxima são obtidos tomando p=N m\pm 1. Assim as posições dos primeiros mínimos ao redor da máxima em \beta são
\beta = m\pi \pm \frac{\pi}{N}.
A diferença entre a posição do máximo \beta=m\pi e o primeiro mínimo é
\Delta\beta=\frac{\pi}{N}.

Passo 7

Voltando à relação entre \beta e \sin\theta, temos \beta=\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}. Portanto a diferença correspondente em \sin\theta entre o máximo e o primeiro mínimo é
\Delta(\sin\theta)=\frac{\lambda}{\pi d}\,\Delta\beta=\frac{\lambda}{\pi d}\cdot\frac{\pi}{N}=\frac{\lambda}{N d}.
Para a máxima central ( m=0) o máximo está em \theta=0, então os primeiros mínimos estão em \sin\theta=\pm\dfrac{\lambda}{N d}. A “meia- largura” angular da máxima (distância do máximo ao primeiro mínimo) em termos de ângulo \theta satisfaz
\sin\theta_{\min}=\frac{\lambda}{N d}.
Tomando arco seno obtemos a expressão exata:
\theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}.

Passo 8

Observações finais e intuição: para N maior as máximas ficam mais estreitas porque \theta_{\min} diminui como 1/N. Para ângulos pequenos podemos aproximar \theta_{\min}\approx\dfrac{\lambda}{N d} (em radianos). Note também que a expressão só faz sentido físico se \dfrac{\lambda}{N d}\le 1, caso contrário não há mínimo real dentro do intervalo de \sin\theta.

Resposta

\theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}

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