Mostre que para uma rede de difração o ângulo mínimo de abertura da interferência construtiva é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma rede de difração com
fendas igualmente espaçadas por uma distância
e iluminada por luz monocromática de comprimento de onda
, o ângulo mínimo de abertura da interferência construtiva é
Informações dadas e o que precisa aparecer na dedução:
-
= número de fendas da rede. -
= separação entre fendas (distância entre centros de fendas adjacentes). -
= comprimento de onda da luz incidente. - Queremos encontrar o menor ângulo
(medido a partir da normal) que descreve a “largura” mínima de uma máxima principal de interferência — isto é, a posição do primeiro mínimo ao redor de uma máxima principal, que define a abertura da máxima.
Passo 2
Primeiro vamos modelar a contribuição de cada fenda em termos de fase. A diferença de caminho entre ondas vindas de fendas adjacentes, quando observadas sob um ângulo
, é
. Essa diferença de caminho corresponde a uma diferença de fase
entre ondas de fendas consecutivas dada por
Explicação didática: a fase progride
quando o caminho cresce
; logo uma diferença de caminho
dá fase
. Isso é essencial porque a soma das ondas de todas as fendas é sensível a essas diferenças de fase.
Passo 3
Agora somamos as contribuições das
fendas. Representando cada onda como um vetor (fasor) complexo com mesma amplitude
mas com fase escalonada em
, a soma das amplitudes é uma série geométrica complexa:
Somando a série geométrica obtemos (fórmula de soma):
A intensidade observada é proporcional ao quadrado do módulo da amplitude:
Passo 4
Para simplificar a expressão do módulo usamos manipulação trigonométrica-padrão. Definimos
Usando identidades complexas e trigonométricas (e lembrando que
e
), chega-se à forma conhecida
onde
é a intensidade de uma única fenda (ou outra constante de proporção). Explicação didática: a razão
surge porque a soma de
vetores igualmente espaçados em fase forma um polígono cujo módulo é dado por essa razão — para
grande isso gera máximos muito estreitos.
Passo 5
As máximas principais ocorrem quando o numerador atinge valores proporcionais a
: isso acontece quando
para algum inteiro
. Em termos de
isso dá a condição usual dos máximos
que são as direções das máximas de ordem
. Explicação didática: em
o denominador
também pode ser zero, mas o limite é finito e fornece a máxima com intensidade proporcional a
.
Passo 6
Agora vamos achar os mínimos que delimitam a máxima principal — esses mínimos vêm das zeros do numerador
que não coincidem com a condição da máxima. As zeros do numerador ocorrem quando
Considere a máxima correspondente a
(ou, no caso central,
). Os zeros do numerador mais próximos dessa máxima são obtidos tomando
. Assim as posições dos primeiros mínimos ao redor da máxima em
são
A diferença entre a posição do máximo
e o primeiro mínimo é
Passo 7
Voltando à relação entre
e
, temos
. Portanto a diferença correspondente em
entre o máximo e o primeiro mínimo é
Para a máxima central (
) o máximo está em
, então os primeiros mínimos estão em
. A “meia- largura” angular da máxima (distância do máximo ao primeiro mínimo) em termos de ângulo
satisfaz
Tomando arco seno obtemos a expressão exata:
Passo 8
Observações finais e intuição: para
maior as máximas ficam mais estreitas porque
diminui como
. Para ângulos pequenos podemos aproximar
(em radianos). Note também que a expressão só faz sentido físico se
, caso contrário não há mínimo real dentro do intervalo de
.