(b) Caso não tenha feito ao longo das respostas dos itens anteriores identifique cada parâmetro da equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que para uma rede de difração o ângulo mínimo de abertura da interferência construtiva é dado por
\theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}
e (b) identificar cada parâmetro da equação. \n
As informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar: a rede tem N fendas idênticas igualmente espaçadas por distância d; a luz monocromática incidente tem comprimento de onda \lambda; queremos a distribuição angular da intensidade resultante da interferência das ondas vindas das N fendas e, em particular, a posição do primeiro mínimo ao redor de um máximo principal.
Passo 2
Vamos traduzir geometricamente a situação e achar a diferença de caminho entre ondas que saem de fendas adjacentes. \n
Considere duas fendas vizinhas separadas por uma distância \,d. Para um observador na direção que forma um ângulo \theta com a normal da rede, a diferença de caminho entre as ondas vindas de fendas adjacentes é
\Delta x = d\sin\theta.
Expliquei: quando a onda sai de fendas separadas por d, a componente do deslocamento na direção do observador é d\sin\theta; essa é a distância extra que uma onda percorre em relação à outra até o ponto de observação.
Passo 3
Convertemos a diferença de caminho em diferença de fase entre as ondas. \n
A fase de uma onda progride 2\pi quando o caminho aumenta em \lambda. Logo a diferença de fase entre ondas de fendas adjacentes é
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Aqui \delta é a diferença de fase (em radianos) entre ondas vindas de fendas consecutivas.
Passo 4
Somamos vetorialmente (com fase) as contribuições das N fendas. \n
Cada fenda emite uma onda com mesma amplitude (assumimos amplitudes iguais) mas com fase deslocada em incrementos de \delta. A amplitude resultante A é proporcional à soma geométrica complexa
Manipulamos a expressão para a intensidade e usamos identidades trigonométricas. \n
A intensidade I é proporcional a |A|^2. Ao manipular a fração complexa e usar a identidade \,|1-e^{i\alpha}| = 2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|, obtemos a forma bem conhecida:
A \propto \frac{\sin\left(\tfrac{N\delta}{2}\right)}{\sin\left(\tfrac{\delta}{2}\right)}.
Explico o porquê: o numerador controla os picos principais (quando \sin(\tfrac{N\delta}{2}) é máximo) e o denominador gera raios finos e singularidades que, na prática, se cancelam nos picos principais, dando máximos muito nítidos para redes com N grande.
Passo 6
Condições de máximos e mínimos — onde ocorrem os máximos principais. \n
Os máximos principais (os máximos de interferência construtiva bem definidos) ocorrem quando o denominador se anula simultaneamente com a forma global, o que leva à condição clássica das máximas
\delta = 2\pi m \quad\Rightarrow\quad d\sin\theta = m\lambda,
com m\in\mathbb{Z} (ordem do máximo). Isso é a condição de interferência construtiva entre fendas adjacentes: a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de \lambda.
Passo 7
Agora vamos achar os mínimos mais próximos de um máximo principal (isto é, a largura angular do máximo). \n
Os mínimos da intensidade ocorrem quando o numerador é zero enquanto o denominador não é zero, ou seja
Devemos tomar valores de p que não coincidam com a condição dos máximos (ou seja, p não múltiplo de N que dê m\lambda). Para encontrar o primeiro mínimo ao redor do máximo central (m=0) escolhemos o menor p não nulo em magnitude, que é p=\pm 1.
Passo 8
Tomando p=\pm 1 obtemos o menor ângulo em módulo para o primeiro mínimo lateral. \n
Substituindo p=1 na condição anterior:
d\sin\theta_{\min}=\frac{\lambda}{N}.
Assim isolamos \theta_{\min}:
\theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}.
Isto corresponde ao ângulo (em relação à normal) do primeiro mínimo lateral a partir do máximo central, ou seja, à “meia- abertura” angular do pico de interferência construtiva. Para redes com N grande, o pico é muito estreito porque a fração \frac{\lambda}{N d} fica pequena.
Passo 9
Notas práticas e restrições (explicação física curta). \n
A fórmula só faz sentido se \frac{\lambda}{N d}\le 1; caso contrário o argumento do \arcsin é maior que \,1 e não há mínimo real nessa posição (interpretando fisicamente, se \lambda for muito grande comparado a N d o padrão muda). Para ângulos pequenos podemos aproximar \sin\theta\approx\theta (em radianos) e obter a aproximação
\theta_{\min}\approx\frac{\lambda}{N d}.
Isso é útil em cálculos rápidos na prova.
Resposta
(a) \theta_{\min}=\arcsin\frac{\lambda}{N d}\n
(b) \lambda é o comprimento de onda da luz incidente; N é o número de fendas da rede; d é o espaçamento entre fendas (constante da rede); \theta_{\min} é o ângulo (em relação à normal da rede) do primeiro mínimo lateral, ou seja, a metade da abertura angular do pico de interferência construtiva.