Um par de fendas estreitas e paralelas separadas por 0,250 \mathrm{~mm} é iluminado por luz verde (\lambda=546,1 \mathrm{~nm}). O padrão de interferência é observado em uma tela a 1,20 \mathrm{~m} de distância do plano das fendas paralelas. Calcule a distância entre a primeira e a segunda faixas escuras no padrão de interferência.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a primeira e a segunda faixas escuras do padrão de interferência produzido por um par de fendas. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Separação entre fendas: d=0,250\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento de onda da luz verde: \lambda=546,1\\ \mathrm{nm}.
  • Distância da fenda à tela: L=1,20\\ \mathrm{m}.
    Pergunta que vamos responder: calcular a distância na tela entre a primeira e a segunda faixas escuras.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado devagar): em um arranjo de duas fendas paralelas, as franjas escuras (mínimos de intensidade) ocorrem quando a diferença de caminho entre as ondas das duas fendas é um semi-íntegro de comprimentos de onda. A condição de mínimo é
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda
onde:
  • d é a separação entre as fendas;
  • \theta é o ângulo entre o eixo central (perpendicular às fendas) e a direção até a faixa na tela;
  • \lambda é o comprimento de onda;
  • m é um número inteiro que indexa as franjas escuras ( m=0,1,2,\dots).
    Aqui, m=0 corresponde à primeira faixa escura próxima ao centro, m=1 à segunda, e assim por diante.

Passo 3

Geometria e aproximação de pequeno ângulo (ensino prático): na prática a tela está longe o suficiente (pequeno ângulo), então usamos \sin\theta\approx\tan\theta\approx y/L, onde y é a posição da faixa medida a partir do centro da tela e L é a distância fendas–tela. Substituindo na condição de mínimo obtemos a posição da m-ésima faixa escura:
y_m \approx \frac{\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda L}{d}.
Isso é uma fórmula muito útil na prova: ela dá a distância vertical y_m diretamente em função de m.

Passo 4

Identificando quais m usar: a primeira faixa escura corresponde a m=0 e a segunda a m=1. Logo as posições são
y_0 \approx \frac{\left(0+\tfrac{1}{2}\right)\lambda L}{d}=\frac{0,5\,\lambda L}{d},
y_1 \approx \frac{\left(1+\tfrac{1}{2}\right)\lambda L}{d}=\frac{1,5\,\lambda L}{d}.
A distância entre a segunda e a primeira faixa escura é
\Delta y = y_1 - y_0 = \frac{(1,5-0,5)\,\lambda L}{d}=\frac{\lambda L}{d}.
Observação prática: isso mostra que o espaçamento entre franjas escuras consecutivas é simplesmente \lambda L/d — uma fórmula rápida para lembrar.

Passo 5

Conversão das unidades para o SI (muito importante para a conta):\n
\lambda = 546,1\\ \mathrm{nm} = 546,1\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}\n
d = 0,250\\ \mathrm{mm} = 0,250\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}\n
L = 1,20\\ \mathrm{m}

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo usando \Delta y=\dfrac{\lambda L}{d}. Primeiro calcule o numerador:
\lambda L = \left(546,1\times10^{-9}\right)\times 1,20 = 655,32\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Agora divida por d:
\Delta y = \frac{655,32\times10^{-9}}{0,250\times10^{-3}} = \frac{655,32}{0,250}\times10^{-6+3}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\frac{655,32}{0,250}=2621,28
e portanto
\Delta y = 2,62128\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2,62128\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos em d e L), fica \Delta y\approx 2,62\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação rápida da aproximação de pequeno ângulo: posição da primeira faixa escura y_0\approx 0,5\lambda L/d \approx 1,31\\ \mathrm{mm}. O ângulo correspondente é \theta\approx y_0/L\approx 1{,}31\times10^{-3}/1{,}20\approx 1{,}09\times10^{-3}\\ \mathrm{rad}, muito pequeno, então a aproximação \sin\theta\approx y/L é válida — nossa fórmula é adequada.

Resposta

2,62\\ \mathrm{mm}

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