Um par de fendas estreitas e paralelas separadas por 0,250 \mathrm{~mm} é iluminado por luz verde (\lambda=546,1 \mathrm{~nm}). O padrão de interferência é observado em uma tela a 1,20 \mathrm{~m} de distância do plano das fendas paralelas. Calcule a distância do máximo central para a primeira regiāo branca em ambos os lados do máximo central

Passo 1

Enunciado reescrito e dados essenciais: Um par de fendas separadas por 0,250\\ \mathrm{mm} é iluminado por luz verde de comprimento de onda \lambda=546,1\\ \mathrm{nm}. O padrão de interferência é observado numa tela a 1,20\\ \mathrm{m} do plano das fendas. O que se pede: a distância do máximo central até a primeira região branca (primeira franja brilhante de ordem m=1) em cada lado do máximo central. Dados numéricos (convertidos para metros):
d = 0,250\\ \mathrm{mm} = 2,50\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}
\lambda = 546,1\\ \mathrm{nm} = 5,461\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}
L = 1,20\\ \mathrm{m}

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar: Para duas fendas paralelas, os máximos de interferência construtiva (franjas brilhantes) satisfazem a condição
d\sin\theta = m\lambda,
onde d é a separação entre as fendas, \theta é o ângulo medido a partir da normal ao plano das fendas até a direção do máximo, \lambda é o comprimento de onda da luz e m é a ordem do máximo ( m=0,\pm1,\pm2,\ldots). Aqui queremos a primeira franja brilhante, então usaremos m=1. Para relacionar \theta com a posição y da franja na tela (distância vertical a partir do máximo central) usamos a geometria da tela a distância L:
y = L\tan\theta.
Para ângulos pequenos (caso típico quando L\gg d), podemos usar a aproximação pequena-ângulo \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta (em radianos), o que simplifica os cálculos. Vou mostrar isso e também fazer a conta de forma consistente.

Passo 3

Calcular \sin\theta para o primeiro máximo ( m=1). Da condição de interferência:
\sin\theta = \frac{\lambda}{d}.
Substituindo os valores (todos em metros):
\sin\theta = \frac{5,461\times 10^{-7}}{2,50\times 10^{-4}}.
Agora realizamos a divisão:
\sin\theta = 2,1844\times 10^{-3}\approx 0,0021844.

Passo 4

Determinar o ângulo \theta. Como \sin\theta é muito pequeno, \theta em radianos é praticamente igual a \sin\theta. Ainda assim, para ser correto:
\theta = \arcsin(0,0021844)\approx 0,0021844\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (opcional) dá cerca de 0,125^\circ, mas para as contas na tela usamos a versão em radianos.

Passo 5

Calcular a posição y da primeira franja brilhante na tela. A expressão exata é
y = L\tan\theta.
Como \theta é pequeno, \tan\theta\approx\theta\approx\sin\theta, então uma forma muito prática é
y \approx L\frac{\lambda}{d}.
Usando essa aproximação (mais simples e suficientemente precisa aqui):
y \approx (1,20)\cdot\frac{5,461\times 10^{-7}}{2,50\times 10^{-4}}.
Fazendo a multiplicação e divisão:
y \approx 1,20 \times 2,1844\times 10^{-3}=2,62128\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
y \approx 2,62128\\ \mathrm{mm}\approx 2,62\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Verificação rápida usando y=L\tan(\arcsin(\lambda/d)) (forma não aproximada): como \arcsin(\lambda/d) e \lambda/d são praticamente iguais para este valor pequeno, o resultado numérico usando as funções trigonométricas dará o mesmo y com diferença desprezível na casa dos últimos dígitos. Portanto a aproximação é válida e o valor é confiável.

Resposta

2,62\\ \mathrm{mm} (em cada lado do máximo central)

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