Mostre que a relação entre o ângulo de espalhamento
do fóton e o ângulo de recuo do elétron
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma relação entre dois ângulos: o ângulo de espalhamento do fóton, que a gente chama de
, e o ângulo de recuo do elétron, chamado de
. Esse tipo de problema está dentro da matéria de Física de partículas, mais especificamente no estudo da espalhamento Compton. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de trigonometria e conceitos básicos de conservação de energia e momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que acontece no espalhamento Compton. Um fóton com certa energia bate em um elétron e, após a colisão, o fóton muda de direção (com ângulo
) e o elétron ganha uma nova velocidade, mudando sua direção com ângulo
. A conservação do momento e da energia são fundamentais para relacionar esses ângulos.
Passo 3
Vamos começar aplicando a conservação do momento. O fóton tem momento inicial
e, após a colisão, tem momento
na direção espalhada. O elétron ganha um momento
. Na conservação vetorial, podemos escrever:
Isso nos dá duas equações, uma para a direção horizontal (x) e outra para a vertical (y):
Passo 4
Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
Isso nos leva a uma relação entre os ângulos
e
.
Passo 5
Para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona os ângulos de dois vetores que se somam a outro. Nesse caso, podemos usar a tangente do ângulo
para expressar a relação entre
e
.
Sabemos que:
E a cotangente é o inverso da tangente:
Passo 6
Voltando à relação que obtivemos anteriormente:
Podemos escrever:
Ou seja,
Invertendo os lados, temos:
Passo 7
Agora, considerando que
e
estão relacionados através das energias do fóton e do elétron após a colisão, podemos definir
. Substituindo na equação acima:
Resposta
Portanto, mostramos que a relação entre o ângulo de espalhamento do fóton
e o ângulo de recuo do elétron
é dada por