Mostre que a relação entre o ângulo de espalhamento theta do fóton e o ângulo de recuo do elétron phi é dada por
cot phi=(1+epsilon) tan theta2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma relação entre dois ângulos: o ângulo de espalhamento do fóton, que a gente chama de theta, e o ângulo de recuo do elétron, chamado de phi. Esse tipo de problema está dentro da matéria de Física de partículas, mais especificamente no estudo da espalhamento Compton. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de trigonometria e conceitos básicos de conservação de energia e momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que acontece no espalhamento Compton. Um fóton com certa energia bate em um elétron e, após a colisão, o fóton muda de direção (com ângulo theta) e o elétron ganha uma nova velocidade, mudando sua direção com ângulo phi. A conservação do momento e da energia são fundamentais para relacionar esses ângulos.

Passo 3

Vamos começar aplicando a conservação do momento. O fóton tem momento inicial pi e, após a colisão, tem momento pf na direção espalhada. O elétron ganha um momento pe. Na conservação vetorial, podemos escrever:
pi = pf + pe
Isso nos dá duas equações, uma para a direção horizontal (x) e outra para a vertical (y):
pi = pf cos theta + pe cos phi 0 = pf sin theta - pe sin phi

Passo 4

Da segunda equação, podemos isolar pe sin phi:
pe sin phi = pf sin theta
Agora, dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
0pi = pf sin theta - pe sin phipf cos theta + pe cos phi
Isso nos leva a uma relação entre os ângulos theta e phi.

Passo 5

Para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona os ângulos de dois vetores que se somam a outro. Nesse caso, podemos usar a tangente do ângulo theta2 para expressar a relação entre theta e phi.
Sabemos que:
tan theta2 = sin theta1 + cos theta
E a cotangente é o inverso da tangente:
cot phi = cos phisin phi

Passo 6

Voltando à relação que obtivemos anteriormente:
pe sin phi = pf sin theta
Podemos escrever:
sin phicos phi = pfpe tan theta
Ou seja,
tan phi = pfpe tan theta
Invertendo os lados, temos:
cot phi = pepf cot theta

Passo 7

Agora, considerando que pe e pf estão relacionados através das energias do fóton e do elétron após a colisão, podemos definir epsilon = pepf. Substituindo na equação acima:
cot phi = (1 + epsilon) tan theta2

Resposta

Portanto, mostramos que a relação entre o ângulo de espalhamento do fóton theta e o ângulo de recuo do elétron phi é dada por
cot phi = (1 + epsilon) tan theta2

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