Um bloco de massa m=3 Kg choca com uma mola vertical, inicialmente relaxada, com velocidade inicial igual a 10,954 m / s. A constante elástica é k=13,2 N / cm. Qual é a máxima compressão que a mola é submetida?
22,72 cm
47,67 cm
50 cm
35,42 cm
Nenhuma das alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa m = 3,kg que bate numa mola vertical que estava sem comprimir. O bloco está se movendo para baixo com uma velocidade inicial de v0 = 10,954,m/s. A constante elástica da mola é k = 13,2,N/cm, que precisamos converter para N/m para facilitar os cálculos. O objetivo é descobrir qual é a máxima compressão que a mola vai ter quando o bloco para de se mover por um instante. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial elástica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a constante elástica da mola de N/cm para N/m. Sabemos que 1,m = 100,cm, então:
k = 13,2,N/cm times 100 = 1320,N/m

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a energia cinética inicial do bloco será convertida em energia potencial elástica da mola quando ela estiver completamente comprimida. A energia cinética ( Ec) é dada por:
Ec = 12 m v0^2
Substituindo os valores:
Ec = 12 times 3,kg times (10,954,m/s)^2 approx 180,05,J

Passo 4

A energia potencial elástica ( Ep) da mola é dada por:
Ep = 12 k x^2
Onde x é a compressão da mola que queremos encontrar. Além disso, como a mola está vertical, também temos que considerar a energia potencial gravitacional ( Eg):
Eg = m g x
Onde g = 9,81,m/s^2 é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Pela conservação de energia, a energia cinética inicial do bloco será igual à soma das energias potenciais elástica e gravitacional quando a mola estiver totalmente comprimida:
12 m v0^2 = 12 k x^2 + m g x
Substituindo os valores conhecidos:
180,05 = 12 times 1320 times x^2 + 3 times 9,81 times x
Simplificando:
180,05 = 660 x^2 + 29,43 x

Passo 6

Vamos arrumar a equação para resolver o valor de x:
660 x^2 + 29,43 x - 180,05 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, onde:
  • a = 660
  • b = 29,43
  • c = -180,05
Usaremos a fórmula de Bhaskara para resolver:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De):
De
Extraindo a raiz quadrada:
raizDe
Agora, substituindo na fórmula:
x = -29,43 pm 6891320
Considerando apenas a solução positiva (já que compressão não pode ser negativa):
x = 659,571320 approx 0,5004,m = 50,04,cm

Resposta

A máxima compressão que a mola é submetida é 50 cm.

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