Mostre que a relação
, que define os Inteiros
, é uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado define a relação
em
por
Queremos mostrar que
é de equivalência, ou seja, que satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Reflexividade: para todo par
, pela comutatividade da adição temos
logo
. Portanto
é reflexiva.
Passo 3
Simetria: suponha
. Então
Pela comutatividade, reescrevemos como
o que mostra
. Assim
é simétrica.
Passo 4
Transitividade: suponha
e
. Isso significa
Somando as duas igualdades,
Pela comutatividade da adição podemos agrupar como
Cancelando
de ambos os lados (propriedade de cancelamento em
) obtém-se
ou seja,
. Logo
é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.