Mostre que a relação R0, que define os Inteiros Z, é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define a relação R0 em NtimesN por
(m,n);R0;(p,q)se, e somente se, m+q = n+p
Queremos mostrar que R0 é de equivalência, ou seja, que satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: para todo par (m,n)inNtimesN, pela comutatividade da adição temos
m+n = n+m,
logo (m,n),R0,(m,n). Portanto R0 é reflexiva.

Passo 3

Simetria: suponha (m,n),R0,(p,q). Então
m+q = n+p
Pela comutatividade, reescrevemos como
p+n = q+m,
o que mostra (p,q),R0,(m,n). Assim R0 é simétrica.

Passo 4

Transitividade: suponha (m,n),R0,(p,q) e (p,q),R0,(r,s). Isso significa
m+q = n+p e p+s = q+r
Somando as duas igualdades,
(m+q)+(p+s) = (n+p)+(q+r)
Pela comutatividade da adição podemos agrupar como
m + s + (p+q) = n + r + (p+q)
Cancelando p+q de ambos os lados (propriedade de cancelamento em N) obtém-se
m + s = n + r,
ou seja, (m,n),R0,(r,s). Logo R0 é transitiva.

Resposta

A relação R0 é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.

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