7 Seja T: R^3 R^3 um operador linar cuja matriz na base canônica de R^3 é [T]=(rrr-9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7). Determine: os autovalores de T, os espaços próprios associados a esses autovalores. Verifique que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T] ;=;-9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7
Ele pede os autovalores ( lambda), os espaços próprios associados e que a gente comprove que T é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de autovalores e autovetores: calcular o polinômio característico det([T]-lambda I), fatorá-lo, achar vetores não-nulos nos núcleos de [T]-lambda I e verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é 3.

Passo 2

Calcular o polinômio característico
p(lambda)=detl([T]-lambda Ir) =det-9-lambda & 4 & 4[6pt]-8 & 3-lambda & 4[3pt]-16 & 8 & 7-lambda
Fazendo expansão e simplificando, obtemos
p(lambda)=-lambda^3+lambda^2+5lambda+3 Longrightarrow lambda^3-lambda^2-5lambda-3=0
]

Passo 3

Fatorar p(lambda) buscando raízes inteiras. Testando lambda=-1 vemos
(-1)^3-(-1)^2-5(-1)-3=-1-1+5-3=0,
então lambda=-1 é raiz. Dividindo por lambda+1 achamos
lambda^3-lambda^2-5lambda-3=(lambda+1)^2(lambda-3)
Logo os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2=-1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Encontrar o espaço próprio de resolvendo
Da segunda linha vem . Da primeira vem . Assim
]

Passo 5

Para resolvemos
Todas as linhas dão a mesma equação . Tomando e temos , ou seja
A dimensão de é , igual à multiplicidade algébrica.
]

Passo 6

Como as dimensões dos espaços próprios somam
dim E3 + dim E-1 = 1 + 2 = 3
iguais à dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e espaços próprios:
lambda=3,
E3=span(1,1,2);
lambda=-1,
E-1=span(1,2,0),,(0,-1,1)
Além disso, dim E3+dim E-1=3, logo T é diagonalizável.

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