Um conjunto de vetores é chamado linearmente independente quando a equação vetorial
só possui a solução nula . No caso contrário o conjunto é chamado linearmente dependente.
i) Mostre que dois vetores no plano são linearmente independentes se, e somente se, são não nulos e não são paralelos.
ii) Mostre que três vetores no plano nunca são linearmente independentes, ou seja, um conjunto com três ou mais vetores no plano é sempre linearmente dependente.
iii) Mostre que se é linearmente independente, então qualquer vetor se escreve de maneira única como .
iv) Calcule explicitamente os coeficientes quando e . Interprete o resultado geometricamente.
Passo 1
O enunciado trata de independência linear de vetores em . Precisamos usar a definição
para mostrar:
(i) para a independência equivale a ambos serem não nulos e não paralelos;
(ii) para em sempre há dependência;
(iii) se é independente então formam base de , logo todo se escreve de modo único como combinação;
(iv) calcular explicitamente esses coeficientes no caso , , .
Passo 2
(i) “”: Se ou fosse zero, teríamos com coeficiente não trivial, logo dependência. Se fossem paralelos, digamos , então dá dependência. “”: Se ambos são não nulos e não paralelos, não existem escalares tais que , pois essa equação só teria solução não trivial quando as direções coincidissem.
Passo 3
(ii) Em a dimensão do espaço é . Qualquer conjunto com mais de vetores tem posto , logo é linearmente dependente. Em particular, dado , ou já é dependente (caso paralelos) ou é uma base e então se expressa como combinação de , provando dependência.
Passo 4
(iii) Se é independente, então por definição de dimensão ela gera . Assim para todo existem tais que
A unicidade vem do fato de que, se houvesse duas representações
subtraindo,
e pela independência segue , ou seja, .
Passo 5
(iv) Queremos
Isso gera o sistema
Multiplicando a primeira por e somando:
Substituindo em :
Geometricamente, está sendo escrito de modo único como combinação das direções e .
Resposta
(i) Dois vetores em R^2 são linearmente independentes se, e somente se, ambos são não nulos e não paralelos.
(ii) Qualquer conjunto de três (ou mais) vetores em R^2 é sempre linearmente dependente.
(iii) Se v1,v2 é independente, então todo vinR^2 tem representação única v=a1v1+a2v2.
(iv) Para v1=(3,2), v2=(-4,5), v=(1,1) obtém-se