Um conjunto de vetores v1, v2, ldots, vn é chamado linearmente independente quando a equação vetorial
sumi=1^m ai vi=a1 v1+a2 v2+cdots+am vm=0
só possui a solução nula a1=a2=ldots=am=0. No caso contrário o conjunto é chamado linearmente dependente.
i) Mostre que dois vetores no plano são linearmente independentes se, e somente se, são não nulos e não são paralelos.
ii) Mostre que três vetores no plano nunca são linearmente independentes, ou seja, um conjunto com três ou mais vetores no plano é sempre linearmente dependente.
iii) Mostre que se v1, v2 é linearmente independente, então qualquer vetor v se escreve de maneira única como v=a1 v1+a2 v2.
iv) Calcule explicitamente os coeficientes a1, a2 quando v1=(3,2), v2=(-4,5) e v=(1,1). Interprete o resultado geometricamente.

Passo 1

O enunciado trata de independência linear de vetores em R^2. Precisamos usar a definição
sumi=1^m ai,vi = 0 Longrightarrow a1=cdots=am=0
para mostrar:
  • (i) para m=2 a independência equivale a ambos serem não nulos e não paralelos;
  • (ii) para m=3 em R^2 sempre há dependência;
  • (iii) se v1,v2 é independente então formam base de R^2, logo todo v se escreve de modo único como combinação;
  • (iv) calcular explicitamente esses coeficientes no caso v1=(3,2), v2=(-4,5), v=(1,1).

Passo 2

(i) “ Rightarrow”: Se v1 ou v2 fosse zero, teríamos 1cdot vi+0cdot vj=0 com coeficiente não trivial, logo dependência. Se fossem paralelos, digamos v2=lambda v1, então lambda v1 - v2=0 dá dependência. “ Leftarrow”: Se ambos são não nulos e não paralelos, não existem escalares (a1,a2)neq(0,0) tais que a1v1+a2v2=0, pois essa equação só teria solução não trivial quando as direções coincidissem.

Passo 3

(ii) Em R^2 a dimensão do espaço é 2. Qualquer conjunto com mais de 2 vetores tem posto <=2, logo é linearmente dependente. Em particular, dado v1,v2,v3, ou v1,v2 já é dependente (caso paralelos) ou é uma base e então v3 se expressa como combinação de v1,v2, provando dependência.

Passo 4

(iii) Se v1,v2 é independente, então por definição de dimensão ela gera R^2. Assim para todo v existem a1,a2 tais que
v = a1v1 + a2v2
A unicidade vem do fato de que, se houvesse duas representações
v = a1v1 + a2v2 = b1v1 + b2v2,
subtraindo,
0 = (a1-b1)v1 + (a2-b2)v2
e pela independência segue a1-b1=a2-b2=0, ou seja, ai=bi.

Passo 5

(iv) Queremos
Isso gera o sistema
Multiplicando a primeira por e somando:
Substituindo em :
Geometricamente, está sendo escrito de modo único como combinação das direções e .

Resposta

(i) Dois vetores em R^2 são linearmente independentes se, e somente se, ambos são não nulos e não paralelos.
(ii) Qualquer conjunto de três (ou mais) vetores em R^2 é sempre linearmente dependente.
(iii) Se v1,v2 é independente, então todo vinR^2 tem representação única v=a1v1+a2v2.
(iv) Para v1=(3,2), v2=(-4,5), v=(1,1) obtém-se
a1 = tfrac923, a2 = tfrac123

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