Seja A=(xa, ya), B=(xb, yb) e C=(xc, yc) vértices de um triângulo De<a no plano. Mostre que O A+O B+O C=(0,0) se, e somente se, O=(x0, y0) é o baricentro do triângulo De<a.

Passo 1

O enunciado diz que A=(xa,ya), B=(xb,yb) e C=(xc,yc) são vértices de um triângulo De<a no plano, e que O=(x0,y0) é um ponto qualquer. Queremos mostrar que
OA+OB+OC=(0,0)
se, e somente se, O é o baricentro de De<a.
O conteúdo aqui é geometria vetorial em coordenadas e a definição do baricentro como média aritmética das coordenadas dos vértices.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, as coordenadas dos vetores estão dadas por
OA=(xa-x0,,ya-y0), OB=(xb-x0,,yb-y0), OC=(xc-x0,,yc-y0)

Passo 3

Somando-os componente a componente, obtemos
OA+OB+OC =(xa+xb+xc-3x0,;ya+yb+yc-3y0)
Para que esse vetor seja (0,0), precisamos de
xa+xb+xc-3x0=0 e ya+yb+yc-3y0=0
Isto é,
x0=xa+xb+xc3, y0=ya+yb+yc3

Passo 4

Por definição, o baricentro de um triângulo com vértices A, B e C tem exatamente as coordenadas
l(tfracxa+xb+xc3,,tfracya+yb+yc3r)
Logo, as duas equações acima caracterizam precisamente o baricentro.

Passo 5

Concluímos que
OA+OB+OC=(0,0)
se, e somente se,
O=l(tfracxa+xb+xc3,,tfracya+yb+yc3r),
isto é, O é o baricentro de De<a.

Resposta

O ponto O satisfaz OA+OB+OC=(0,0) se, e somente se, suas coordenadas forem
l(tfracxa+xb+xc3,,tfracya+yb+yc3r),
ou seja, O é o baricentro do triângulo De<a.

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