Seja e os vértices de um triângulo no plano. Calcule as coordendas dos seguintes pontos associados ao triângulo .
circumcentro (encontro das três mediatrizes).
Passo 1
O enunciado pede as coordenadas do circuncentro de um triângulo com vértices , e .
O circuncentro é o ponto equidistante de , ou seja, satisfaz e .
Para encontrá-lo, vamos usar essas duas igualdades de distância para obter um sistema linear em e .
Passo 2
Da condição temos
Expandindo e simplificando, os termos quadráticos em e se cancelam, sobrando a equação linear
Passo 3
Da condição obtemos de modo análogo
Passo 4
Esse é um sistema de duas equações lineares em . Aplicando a regra de Cramer, definimos o determinante comum
Usando também os determinantes numeradores DX e DY, chega-se após simplificação às fórmulas finais:
X = (xa^2+ya^2)(yb-yc)+(xb^2+yb^2)(yc-ya)+(xc^2+yc^2)(ya-yb)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r],
Y = (xa^2+ya^2)(xc-xb)+(xb^2+yb^2)(xa-xc)+(xc^2+yc^2)(xb-xa)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r]
Resposta
X = (xa^2+ya^2)(yb-yc)+(xb^2+yb^2)(yc-ya)+(xc^2+yc^2)(ya-yb)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r],
Y = (xa^2+ya^2)(xc-xb)+(xb^2+yb^2)(xa-xc)+(xc^2+yc^2)(xb-xa)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r]