Seja A=(xa, ya), B=(xb, yb) e C=(xc, yc) os vértices de um triângulo De<a no plano. Calcule as coordendas dos seguintes pontos associados ao triângulo De<a.
circumcentro (encontro das três mediatrizes).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do circuncentro O=(X,Y) de um triângulo De<a com vértices
;A=(xa,ya), ;B=(xb,yb) e ;C=(xc,yc).
O circuncentro é o ponto equidistante de A,B,C, ou seja, satisfaz
;OA=OB e ;OA=OC.
Para encontrá-lo, vamos usar essas duas igualdades de distância para obter um sistema linear em X e Y.

Passo 2

Da condição OA=OB temos
(X - xa)^2 + (Y - ya)^2 ;=;(X - xb)^2 + (Y - yb)^2
Expandindo e simplificando, os termos quadráticos em X^2 e Y^2 se cancelam, sobrando a equação linear
2(xb - xa),X ;+;2(yb - ya),Y ;=;xb^2 + yb^2 ;-;xa^2 - ya^2

Passo 3

Da condição OA=OC obtemos de modo análogo
2(xc - xa),X ;+;2(yc - ya),Y ;=;xc^2 + yc^2 ;-;xa^2 - ya^2

Passo 4

Esse é um sistema de duas equações lineares em X,Y. Aplicando a regra de Cramer, definimos o determinante comum
D = 2(xb - xa) & 2(yb - ya) 2(xc - xa) & 2(yc - ya) =4l[(xb - xa)(yc - ya)-(xc - xa)(yb - ya)r]
Usando também os determinantes numeradores DX e DY, chega-se após simplificação às fórmulas finais:
X = (xa^2+ya^2)(yb-yc)+(xb^2+yb^2)(yc-ya)+(xc^2+yc^2)(ya-yb)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r],
Y = (xa^2+ya^2)(xc-xb)+(xb^2+yb^2)(xa-xc)+(xc^2+yc^2)(xb-xa)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r]

Resposta

X = (xa^2+ya^2)(yb-yc)+(xb^2+yb^2)(yc-ya)+(xc^2+yc^2)(ya-yb)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r],
Y = (xa^2+ya^2)(xc-xb)+(xb^2+yb^2)(xa-xc)+(xc^2+yc^2)(xb-xa)% 2l[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)r]

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