Mostre que (Q,+),(R,+) e (C,+) com suas respectivas operações usuais de adição são grupos. Destaque em cada caso o elemento neutro e o elemento simétrico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que cada par (G,+), com G=Q,R ou C e “ +” a adição usual, satisfaz a definição de grupo. Para isso precisaremos verificar, em cada caso, as quatro propriedades de grupo:
  1. Fechamento (se a,bin G então a+bin G).
  2. Associatividade (para todo a,b,cin G, (a+b)+c = a+(b+c)).
  3. Existência de elemento neutro ein G tal que a+e = e+a = a.
  4. Existência de inverso (para cada ain G existe -ain G com a+(-a)=(-a)+a=e).

Passo 2

Fechamento e associatividade vêm da própria definição de adição em Q, R e C.
  • Fechamento: se a,b são racionais então a+b é racional; análogo para reais e complexos.
  • Associatividade: a adição de números (racionais, reais ou complexos) satisfaz sempre
(a+b)+c = a+(b+c)

Passo 3

Elemento neutro. Em todos os casos o mesmo número funciona:
0
De fato, para todo ain G,
a + 0 = 0 + a = a,
portanto 0 é o elemento neutro em Q, em R e em C.

Passo 4

Elemento simétrico (inverso). Dado qualquer ain G, seu simétrico é
-a,
pois -a pertence a Q (ou R, ou C) e
a + (-a) = (-a) + a = 0

Resposta

Para cada um dos grupos:
Q, R e C com adição usual,
  • Elemento neutro: 0.
  • Elemento simétrico de a: -a.

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