Mostre que
e
com suas respectivas operações usuais de adição são grupos. Destaque em cada caso o elemento neutro e o elemento simétrico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que cada par
, com
ou
e “
” a adição usual, satisfaz a definição de grupo. Para isso precisaremos verificar, em cada caso, as quatro propriedades de grupo:
- Fechamento (se
então ). - Associatividade (para todo
, ). - Existência de elemento neutro
tal que . - Existência de inverso (para cada
existe com ).
Passo 2
Fechamento e associatividade vêm da própria definição de adição em
,
e
.
- Fechamento: se
são racionais então é racional; análogo para reais e complexos. - Associatividade: a adição de números (racionais, reais ou complexos) satisfaz sempre
Passo 3
Elemento neutro. Em todos os casos o mesmo número funciona:
De fato, para todo
,
portanto
é o elemento neutro em
, em
e em
.
Passo 4
Elemento simétrico (inverso). Dado qualquer
, seu simétrico é
pois
pertence a
(ou
, ou
) e
Resposta
Para cada um dos grupos:
,
e
com adição usual,
- Elemento neutro:
. - Elemento simétrico de
: .