Sejam P=(1,0,2) e r: x-y=x+2 z=x+z. Obtenha uma equação geral do plano pi que contém r e dista 2 do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,0,2) e a reta r definida pela condição
x - y ;=; x + 2z ;=; x + z
Para entender essa reta, vamos traduzir isso em duas equações no espaço.

Passo 2

Da igualdade
x - y ;=; x + 2z
temos
x - y = x + 2z Longrightarrow -,y = 2z Longrightarrow y = -2z,
e da igualdade
x + 2z ;=; x + z
vem
x + 2z = x + z Longrightarrow 2z = z Longrightarrow z = 0
Substituindo z=0 em y=-2z segue y=0. Logo
r = (x,0,0)mid xinR,
ou seja, é o eixo x.

Passo 3

Todo plano que contém o eixo x deve satisfazer a equação
By + Cz + D = 0
de modo que, para pontos (x,0,0) dessa reta, Bcdot0 + Ccdot0 + D = 0 para todo x. Isso força D=0. Assim a família de planos é
By + Cz = 0,
com vetor normal n=(0,B,C).

Passo 4

Queremos o plano dessa família que está à distância 2 de P=(1,0,2). A distância de P ao plano By+Cz=0 é
l|Bcdot0 + Ccdot2 + 0r|raizB^2 + C^2 = |2C|raizB^2 + C^2 stackrel!=2
Isso dá
|C|raizB^2 + C^2 = 1 Longrightarrow C^2 = B^2 + C^2 Longrightarrow B=0
Então o plano é 0cdot y + C,z=0, i.e.\ z=0.

Resposta

A equação geral do plano pi é
z = 0

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