Sejam as transformações lineares abaixo, para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
Passo 1
O enunciado pede, para cada transformação linear , que a gente ache o núcleo (), dê uma base e a dimensão desse subespaço, e verifique se é injetora; em seguida ache a imagem (), dê uma base e a dimensão, e verifique se é sobrejetora.
Passo 2
Para com
temos . Da equação segue
logo . Como , não é injetora.
Ainda em , note que
então
logo . Como o contradomínio tem dimensão 2, não é sobrejetora.
Passo 3
Para com
a matriz associada tem colunas e , que são independentes. Logo , e é injetora.
Em , a imagem é gerada pelas colunas independentes:
logo . Como o contradomínio tem dimensão 3, não é sobrejetora.
Passo 4
Para com
a matriz tem determinante . Logo , e é injetora.
Ainda em , por essa matriz ser inversível, com . Logo é sobrejetora.
Passo 5
Para
resolvendo o sistema
vimos que , então
com . Logo não é injetora.
Em , as duas linhas da matriz são independentes, logo , isto é, . Assim é sobrejetora.
Resposta
T1colonR^2toR^2, T1(x,y)=(3x-y,,-3x+y) ker T1=span(1,3), dimker T1=1, não injetora ImT1=span(1,-1), dimImT1=1, não sobrejetora
T2colonR^2toR^3, T2(x,y)=(x+y,;x,;2y) ker T2=0, dimker T2=0, injetora ImT2=span(1,1,0),,(1,0,2), dimImT2=2, não sobrejetora
T3colonR^2toR^2, T3(x,y)=(x-2y,;x+y) ker T3=0, dimker T3=0, injetora ImT3=R^2, dimImT3=2, sobrejetora
T4colonR^3toR^2, T4(x,y,z)=(x+2y-z,;2x-y+z) ker T4=span(1,-3,-5), dimker T4=1, não injetora ImT4=R^2, dimImT4=2, sobrejetora