Sejam as transformações lineares abaixo, para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?
T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y)
T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x+y, x, 2 y)
T: R^2 I R^2 ; T(x, y)=(x-2 y, x+y)
T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z)

Passo 1

O enunciado pede, para cada transformação linear T, que a gente ache o núcleo ( ker T), dê uma base e a dimensão desse subespaço, e verifique se T é injetora; em seguida ache a imagem ( ImT), dê uma base e a dimensão, e verifique se T é sobrejetora.

Passo 2

Para T1colonR^2toR^2 com
T1(x,y)=(3x-y,,-3x+y),
temos ker T1=(x,y):3x-y=0. Da equação y=3x segue
ker T1=x(1,3):xinR=span(1,3),
logo dimker T1=1. Como dimker T1>0, T1 não é injetora.
Ainda em T1, note que
T1(x,y)=(u,-u)com u=3x-y,
então
ImT1=(u,-u):uinR=span(1,-1),
logo dimImT1=1. Como o contradomínio tem dimensão 2, T1 não é sobrejetora.

Passo 3

Para T2colonR^2toR^3 com
T2(x,y)=(x+y,;x,;2y),
a matriz associada tem colunas (1,1,0) e (1,0,2), que são independentes. Logo ker T2=0, dimker T2=0 e T2 é injetora.
Em T2, a imagem é gerada pelas colunas independentes:
ImT2=span(1,1,0),,(1,0,2),
logo dimImT2=2. Como o contradomínio tem dimensão 3, T2 não é sobrejetora.

Passo 4

Para T3colonR^2toR^2 com
T3(x,y)=(x-2y,;x+y),
a matriz 1&-21&1 tem determinante 1cdot1-(-2)cdot1=3neq0. Logo ker T3=0, dimker T3=0 e T3 é injetora.
Ainda em T3, por essa matriz ser inversível, ImT3=R^2 com dimImT3=2. Logo T3 é sobrejetora.

Passo 5

Para
resolvendo o sistema
vimos que , então
com . Logo não é injetora.
Em , as duas linhas da matriz são independentes, logo , isto é, . Assim é sobrejetora.

Resposta

T1colonR^2toR^2, T1(x,y)=(3x-y,,-3x+y)
ker T1=span(1,3), dimker T1=1, não injetora
ImT1=span(1,-1), dimImT1=1, não sobrejetora
T2colonR^2toR^3, T2(x,y)=(x+y,;x,;2y)
ker T2=0, dimker T2=0, injetora
ImT2=span(1,1,0),,(1,0,2), dimImT2=2, não sobrejetora
T3colonR^2toR^2, T3(x,y)=(x-2y,;x+y)
ker T3=0, dimker T3=0, injetora
ImT3=R^2, dimImT3=2, sobrejetora
T4colonR^3toR^2, T4(x,y,z)=(x+2y-z,;2x-y+z)
ker T4=span(1,-3,-5), dimker T4=1, não injetora
ImT4=R^2, dimImT4=2, sobrejetora

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