Seja B=Z times Z. Considerando as operações a seguir, verifique se elas são associativas e/ou comutativas.
(a, b) star(x, y)=(a x, 0)

Passo 1

O enunciado define o conjunto B = ZtimesZ e a operação
(a,b),star,(x,y) = (a x,,0)
Vamos verificar se essa operação é associativa e se é comutativa; para isso usaremos as propriedades de multiplicação em Z.

Passo 2

Verificação de associatividade. Precisamos checar se vale
l((a,b),star,(x,y)r),star,(u,v) ;=; (a,b),star;l((x,y),star,(u,v)r)
Calculemos cada lado:
(a,b),star,(x,y) = (a x,,0),
então
l((a,b),star,(x,y)r),star,(u,v) = (a x,,0),star,(u,v) = l((a x),u,;0r) = (a x u,,0)
Por outro lado,
(x,y),star,(u,v) = (x u,,0),
logo
(a,b),star;l((x,y),star,(u,v)r) = (a,b),star,(x u,,0) = l(a,(x u),;0r) = (a x u,,0)
Como ambos dão (a x u,0), a operação é associativa.

Passo 3

Verificação de comutatividade. Precisamos checar se
(a,b),star,(x,y) ;=; (x,y),star,(a,b)
Calculamos
(a,b),star,(x,y) = (a x,,0),
(x,y),star,(a,b) = (x,a,,0)
Como em Z vale a x = x a, ambos os resultados coincidem: (a x,0)=(x a,0). Logo a operação é comutativa.

Resposta

A operação star é associativa e também comutativa.

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