Mostre que a reta \frac{1}{3}(x-7)=-(y+3)=z-4 intercepta os planos \Pi_{1}: 6 x+4 y-5 z=19 e \Pi_{2}: x-5 y+2 z=40 no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta na forma simétrica \dfrac{1}{3}(x-7)=-(y+3)=z-4.
  • Dois planos \Pi_{1}: 6x+4y-5z=19 e \Pi_{2}: x-5y+2z=40.
O que se pede: mostrar que a reta intercepta \Pi_{1} e \Pi_{2} no mesmo ponto (ou seja, o ponto de interseção da reta com cada plano é idêntico). Vou listar claramente os dados que usarei: as expressões da reta e dos planos acima. A resolução começa convertendo a reta para forma paramétrica e, em seguida, substituindo nas equações dos planos para obter os parâmetros de interseção.

Passo 2

Converter a forma simétrica da reta em forma paramétrica é padrão: tomo um parâmetro comum t e igualo cada membro a t. Assim ponho
\dfrac{1}{3}(x-7)=-(y+3)=z-4=t.
Agora resolvo cada igualdade para x,y,z:
Da primeira igualdade \dfrac{1}{3}(x-7)=t vem
x-7=3t\quad\Rightarrow\quad x=7+3t.
Da segunda igualdade -(y+3)=t vem
y+3=-t\quad\Rightarrow\quad y=-3-t.
Da terceira igualdade z-4=t vem
z=4+t.
Portanto a reta em forma paramétrica é
(x,y,z)=(7+3t,\\\ -3-t,\\\ 4+t),
onde t\in\mathbb{R}. O vetor diretor da reta é (3,-1,1) e um ponto da reta (para t=0) é (7,-3,4).

Passo 3

Para encontrar a interseção da reta com um plano, substitui-se a parametrização (x,y,z)=(7+3t,-3-t,4+t) na equação do plano e resolve-se para t. Faço isso primeiro para \Pi_{1}.
Substituindo em \Pi_{1}: 6x+4y-5z=19:
6(7+3t)+4(-3-t)-5(4+t)=19.
Agora calculo passo a passo os termos:
6(7+3t)=42+18t,
4(-3-t)=-12-4t,
-5(4+t)=-20-5t.
Somando:
(42+18t)+(-12-4t)+(-20-5t)=19.

Passo 4

Agrupando constantes e termos em t:
42-12-20 + (18t-4t-5t)=19.
10 + 9t = 19.
Logo
9t=9 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Com t=1 o ponto de interseção da reta com \Pi_{1} é
x=7+3\cdot1=10,\qquad y=-3-1=-4,\qquad z=4+1=5.
Portanto o ponto é (10,-4,5).

Passo 5

Repito o processo para \Pi_{2}: x-5y+2z=40. Substituindo a parametrização:
(7+3t)-5(-3-t)+2(4+t)=40.
Calculo os termos:
7+3t,
-5(-3-t)=15+5t,
2(4+t)=8+2t.
Somando:
(7+3t)+(15+5t)+(8+2t)=40.

Passo 6

Agrupando constantes e termos em t:
7+15+8 + (3t+5t+2t)=40,
30 + 10t = 40.
Logo
10t=10 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Com t=1 novamente obtemos o ponto
(x,y,z)=(10,-4,5).
Como o valor de t que resolve cada substituição é o mesmo ( t=1), a reta corta \Pi_{1} e \Pi_{2} no mesmo ponto. Verificou-se explicitamente que (10,-4,5) está na reta e satisfaz ambas as equações dos planos.

Resposta

(10,-4,5)

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