Mostre que a reta
intercepta os planos
e
no mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta na forma simétrica
. - Dois planos
e .
O que se pede: mostrar que a reta intercepta
e
no mesmo ponto (ou seja, o ponto de interseção da reta com cada plano é idêntico). Vou listar claramente os dados que usarei: as expressões da reta e dos planos acima. A resolução começa convertendo a reta para forma paramétrica e, em seguida, substituindo nas equações dos planos para obter os parâmetros de interseção.
Passo 2
Converter a forma simétrica da reta em forma paramétrica é padrão: tomo um parâmetro comum
e igualo cada membro a
. Assim ponho
Agora resolvo cada igualdade para
:
Da primeira igualdade
vem
Da segunda igualdade
vem
Da terceira igualdade
vem
Portanto a reta em forma paramétrica é
onde
. O vetor diretor da reta é
e um ponto da reta (para
) é
.
Passo 3
Para encontrar a interseção da reta com um plano, substitui-se a parametrização
na equação do plano e resolve-se para
. Faço isso primeiro para
.
Substituindo em
:
Agora calculo passo a passo os termos:
Somando:
Passo 4
Agrupando constantes e termos em
:
Logo
Com
o ponto de interseção da reta com
é
Portanto o ponto é
.
Passo 5
Repito o processo para
. Substituindo a parametrização:
Calculo os termos:
Somando:
Passo 6
Agrupando constantes e termos em
:
Logo
Com
novamente obtemos o ponto
Como o valor de
que resolve cada substituição é o mesmo (
), a reta corta
e
no mesmo ponto. Verificou-se explicitamente que
está na reta e satisfaz ambas as equações dos planos.