Mostre que a reta
x+103=6-y=z-1
intersecciona os planos pi1: 6 x+4 y-5 z=4 e pi2: x-5 y+2 z=12 no mesmo ponto. Conclua que essa reta é coplanar com a reta determinada pela intersecção desses planos.

Passo 1

O enunciado dá a reta
x+103=6-y=z-1
e os planos
pi1:6x+4y-5z=4, pi2:x-5y+2z=12
O objetivo é mostrar que a reta interseca cada plano no mesmo ponto e, em seguida, concluir que ela é coplanar com a reta que resulta da interseção de pi1 e pi2. Para isso, vamos parametrizar a reta e calcular onde ela toca cada plano.

Passo 2

Defina o parâmetro t pela igualdade comum da reta:
x+103=6-y=z-1=t
Assim obtemos a parametrização
x=3t-10, y=6-t, z=t+1

Passo 3

Intersecção com pi1: Substituindo na equação 6x+4y-5z=4,
6(3t-10)+4(6-t)-5(t+1)=4
Calculando,
18t-60+24-4t-5t-5=4 Longrightarrow 9t-41=4 Longrightarrow t=5
Para t=5 a reta atinge o ponto
Pl(x,y,zr)=l(3cdot5-10,;6-5,;5+1r)=(5,1,6)

Passo 4

Intersecção com pi2: Substituindo na equação x-5y+2z=12,
(3t-10)-5(6-t)+2(t+1)=12
Calculando,
3t-10-30+5t+2t+2=12 Longrightarrow 10t-38=12 Longrightarrow t=5
Novamente t=5 dá o mesmo ponto
P=(5,1,6)

Passo 5

Como tanto a reta dada quanto a reta pi1cappi2 passam pelo ponto P=(5,1,6), elas se intersectam em P. Duas retas que se intersectam estão contidas em um mesmo plano, logo são coplanares.

Resposta

A reta dada e a reta de interseção de pi1 e pi2 se cruzam no ponto (5,1,6), portanto são coplanares.

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