Ache as equações dos planos paralelos ao plano 3 x-2 y+6 z+8=0 e que distam 2 desse plano.

Passo 1

O enunciado fornece o plano ,P:,3x - 2y + 6z + 8 = 0 e pede as equações dos planos paralelos a P que distam 2. O conteúdo envolvido é a fórmula da distância entre planos paralelos na geometria analítica e precisamos do vetor normal e da norma desse vetor para aplicar essa fórmula.

Passo 2

Para dois planos paralelos
a x + b y + c z + d = 0
e
a x + b y + c z + d' = 0,
a distância D entre eles é dada por
D = lvert d' - drvertraiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

No nosso caso, a=3, b=-2, c=6. A norma do vetor normal (3,-2,6) é
raiz3^2 + (-2)^2 + 6^2 = raiz9 + 4 + 36 = raiz49 = 7

Passo 4

Impondo D = 2 na fórmula, temos
lvert d' - 8rvert7 = 2
lvert d' - 8rvert = 14
d' - 8 = pm 14
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d' = 8 + 14 = 22 ou d' = 8 - 14 = -6

Passo 5

Substituindo cada valor de d' em 3x - 2y + 6z + d' = 0, obtemos os dois planos buscados:
3x - 2y + 6z + 22 = 0
e
3x - 2y + 6z - 6 = 0

Resposta

3x - 2y + 6z + 22 = 0 e 3x - 2y + 6z - 6 = 0.

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