Seja
a reta
.
(a) Mostre que
está no plano
.
(b) Mostre que
é paralela ao plano
. A reta está acima, abaixo ou exatamente no plano?
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a reta
em forma paramétrica
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que está no plano
.
(b) Mostrar que é paralela ao plano
e dizer se a reta está acima, abaixo ou exatamente no plano.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
Informações relevantes entregues pelo enunciado:
- A reta está escrita com parâmetro
. - As equações dos dois planos são
e .
Passo 2
Interpretando a reta em forma vetorial e identificando um ponto e o vetor diretor.
Uma reta dada por
pode ser escrita em forma vetorial como
onde
é um ponto específico da reta (por exemplo o ponto quando
) e
é o vetor diretor (coeficientes de
). Aqui:
- Tomando
obtemos o ponto . - O vetor diretor é
(os coeficientes que multiplicam em ).
Explicação rápida do que vou usar:
- Para provar que a reta está contida em um plano do tipo
basta verificar que, para todo , as coordenadas satisfazem a equação do plano. - Para testar paralelismo entre uma reta e um plano: o plano tem um vetor normal
. Se o vetor diretor da reta satisfaz então é perpendicular a e, portanto, paralelo ao plano.
Passo 3
Prova detalhada da parte (a): verificar que todos os pontos da reta satisfazem
.
Pegamos as coordenadas paramétricas e substituímos na equação do plano:
Agora calcule passo a passo:
então
Agrupando os termos em
:
Logo sobra apenas a constante:
Portanto, para todo
vale
o que significa que cada ponto da reta satisfaz a equação do plano. Conclusão: a reta
está contida no plano
.
Passo 4
Explicação da ideia usada na parte (b): vetor normal do plano e condição de paralelismo.
Um plano escrito como
tem vetor normal
. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja no plano. Se o vetor diretor
da reta satisfaz
, então
é perpendicular a
e, portanto, paralelo ao plano (pois está contido no subespaço perpendicular a
, que é o plano em si, traduzido).
Para o plano
temos o vetor normal
O vetor diretor da reta já identificamos como
.
Passo 5
Cálculo do produto escalar para verificar paralelismo.
Calcule o produto escalar
:
Compute cada termo:
Somando:
Como
, o vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, logo a reta
é paralela ao plano
.
Passo 6
Determinar se a reta está contida no plano
ou em que lado ela fica.
Substituímos as coordenadas da reta na expressão
:
Calcule:
Essa quantidade é constantemente
para todo
. Como a equação do plano é
, e para a reta o valor é sempre
, concluímos que a reta não está contida nesse plano; ela é paralela e deslocada do plano.
A expressão constante
indica de que lado da superfície ela está: todos os pontos de
satisfazem
. Assim, a reta está inteiramente no semiespaço onde
(poderíamos chamar isso de “acima” do plano, tomando o lado positivo como acima).
Como complemento, a distância de qualquer ponto da reta ao plano pode ser calculada (muito útil para prova): a distância de um ponto
ao plano
é
Aqui o plano é
(ou seja
). Para um ponto da reta (por exemplo
quando
) temos
. Então a distância é
Isso confirma que a reta está a uma distância fixa
do plano, como esperado para uma reta paralela ao plano.
Resposta
(a) A reta
está contida no plano
.
(b) A reta é paralela ao plano
; não está contida nele e fica do lado onde
(distância
do plano).
(b) A reta