Seja L a reta x=3 t+1, y=-5 t, z=t.
(a) Mostre que L está no plano 2 x+y-z=2.
(b) Mostre que L é paralela ao plano x+y+2 z=0. A reta está acima, abaixo ou exatamente no plano?

Passo 1

O enunciado dá a reta L em forma paramétrica
x=3t+1,\qquad y=-5t,\qquad z=t,
e pede duas coisas:
(a) Mostrar que L está no plano 2x+y-z=2.
(b) Mostrar que L é paralela ao plano x+y+2z=0 e dizer se a reta está acima, abaixo ou exatamente no plano.
Informações relevantes entregues pelo enunciado:
  • A reta está escrita com parâmetro t.
  • As equações dos dois planos são 2x+y-z=2 e x+y+2z=0.

Passo 2

Interpretando a reta em forma vetorial e identificando um ponto e o vetor diretor.
Uma reta dada por
x=3t+1,\qquad y=-5t,\qquad z=t
pode ser escrita em forma vetorial como
\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r_0} é um ponto específico da reta (por exemplo o ponto quando t=0) e \vec{v} é o vetor diretor (coeficientes de t). Aqui:
  • Tomando t=0 obtemos o ponto \vec{r_0}=(1,0,0).
  • O vetor diretor é \vec{v}=(3,-5,1) (os coeficientes que multiplicam t em x,y,z).
Explicação rápida do que vou usar:
  • Para provar que a reta está contida em um plano do tipo ax+by+cz=d basta verificar que, para todo t, as coordenadas (x(t),y(t),z(t)) satisfazem a equação do plano.
  • Para testar paralelismo entre uma reta e um plano: o plano tem um vetor normal \vec{n}=(a,b,c). Se o vetor diretor \vec{v} da reta satisfaz \vec{v}\cdot\vec{n}=0 então \vec{v} é perpendicular a \vec{n} e, portanto, paralelo ao plano.

Passo 3

Prova detalhada da parte (a): verificar que todos os pontos da reta satisfazem 2x+y-z=2.
Pegamos as coordenadas paramétricas e substituímos na equação do plano:
2x+y-z = 2(3t+1) + (-5t) - (t).
Agora calcule passo a passo:
2(3t+1) = 6t+2,
então
6t+2 + (-5t) - t = 6t+2 -5t - t.
Agrupando os termos em t:
6t -5t - t = (6-5-1)t = 0\cdot t = 0.
Logo sobra apenas a constante:
6t+2 -5t - t = 0 + 2 = 2.
Portanto, para todo t vale
2x+y-z = 2,
o que significa que cada ponto da reta satisfaz a equação do plano. Conclusão: a reta L está contida no plano 2x+y-z=2.

Passo 4

Explicação da ideia usada na parte (b): vetor normal do plano e condição de paralelismo.
Um plano escrito como ax+by+cz=d tem vetor normal \vec{n}=(a,b,c). O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja no plano. Se o vetor diretor \vec{v} da reta satisfaz \vec{v}\cdot\vec{n}=0, então \vec{v} é perpendicular a \vec{n} e, portanto, paralelo ao plano (pois está contido no subespaço perpendicular a \vec{n}, que é o plano em si, traduzido).
Para o plano x+y+2z=0 temos o vetor normal
\vec{n}'=(1,1,2).
O vetor diretor da reta já identificamos como \vec{v}=(3,-5,1).

Passo 5

Cálculo do produto escalar para verificar paralelismo.
Calcule o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}':
\vec{v}\cdot\vec{n}' = (3,-5,1)\cdot(1,1,2) = 3\cdot1 + (-5)\cdot1 + 1\cdot2.
Compute cada termo:
3\cdot1 = 3,\qquad (-5)\cdot1 = -5,\qquad 1\cdot2 = 2.
Somando:
3-5+2 = 0.
Como \vec{v}\cdot\vec{n}'=0, o vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, logo a reta L é paralela ao plano x+y+2z=0.

Passo 6

Determinar se a reta está contida no plano x+y+2z=0 ou em que lado ela fica.
Substituímos as coordenadas da reta na expressão x+y+2z:
x+y+2z = (3t+1) + (-5t) + 2(t).
Calcule:
(3t+1) -5t + 2t = (3-5+2)t + 1 = 0\cdot t + 1 = 1.
Essa quantidade é constantemente 1 para todo t. Como a equação do plano é x+y+2z=0, e para a reta o valor é sempre 1\neq 0, concluímos que a reta não está contida nesse plano; ela é paralela e deslocada do plano.
A expressão constante 1 indica de que lado da superfície ela está: todos os pontos de L satisfazem x+y+2z=1>0. Assim, a reta está inteiramente no semiespaço onde x+y+2z>0 (poderíamos chamar isso de “acima” do plano, tomando o lado positivo como acima).
Como complemento, a distância de qualquer ponto da reta ao plano pode ser calculada (muito útil para prova): a distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0 é
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui o plano é x+y+2z=0 (ou seja a=1,b=1,c=2,d=0). Para um ponto da reta (por exemplo (1,0,0) quando t=0) temos ax_0+by_0+cz_0+d = 1. Então a distância é
\frac{|1|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Isso confirma que a reta está a uma distância fixa 1/\sqrt{6} do plano, como esperado para uma reta paralela ao plano.

Resposta

(a) A reta L está contida no plano 2x+y-z=2.
(b) A reta L é paralela ao plano x+y+2z=0; não está contida nele e fica do lado onde x+y+2z=1>0 (distância \dfrac{1}{\sqrt{6}} do plano).

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