Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
e que é paralela aos planos
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- Um ponto por onde a reta passa:
. - Duas equações de planos:
-
. -
.
-
O que é pedido:
- Determinar equações paramétricas da reta que passa por
e é paralela aos dois planos dados.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
- Para uma reta ser paralela a um plano, a direção da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Se o plano tem equação
, seu vetor normal é . - Se uma reta é paralela a dois planos simultaneamente, sua direção deve ser ortogonal aos dois vetores normais desses planos. Um vetor que é ortogonal a dois vetores dados é (proporcional ao) produto vetorial (cross product) desses dois vetores normais.
- O produto vetorial de
e é o vetor
que é ortogonal a ambos
e
.
Passo 3
Identificar os vetores normais dos planos (peguei estes coeficientes das equações dos planos):
- Para
o vetor normal é
- Para
o vetor normal é
Passo 4
Calcular o produto vetorial
passo a passo (uso a fórmula do passo anterior):
- Primeiro componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Verificar que
é de fato ortogonal aos dois normais (cheque rápido útil na prova):
- Produto escalar
:
- Produto escalar
:
Ambos nulos, logo
é ortogonal aos dois normais e portanto é direção correta da reta pedida.
Passo 6
Construir as equações paramétricas da reta:
- Seja
o parâmetro. A reta que passa por com direção tem equação vetorial
- Escrevendo em coordenadas paramétricas:
onde
.