Determine equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (5,0,-2) e que é paralela aos planos x-4 y+2 z=0 \mathrm{e} 2 x+3 y-z+1=0.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Um ponto por onde a reta passa: (5,0,-2).
  • Duas equações de planos:
    • x-4y+2z=0.
    • 2x+3y-z+1=0.
O que é pedido:
  • Determinar equações paramétricas da reta que passa por (5,0,-2) e é paralela aos dois planos dados.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Para uma reta ser paralela a um plano, a direção da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano. Se o plano tem equação ax+by+cz+d=0, seu vetor normal é (a,b,c).
  • Se uma reta é paralela a dois planos simultaneamente, sua direção deve ser ortogonal aos dois vetores normais desses planos. Um vetor que é ortogonal a dois vetores dados é (proporcional ao) produto vetorial (cross product) desses dois vetores normais.
  • O produto vetorial de n_1=(n_{1x},n_{1y},n_{1z}) e n_2=(n_{2x},n_{2y},n_{2z}) é o vetor
n_1\times n_2=\big(n_{1y}n_{2z}-n_{1z}n_{2y},\; n_{1z}n_{2x}-n_{1x}n_{2z},\; n_{1x}n_{2y}-n_{1y}n_{2x}\big),
que é ortogonal a ambos n_1 e n_2.

Passo 3

Identificar os vetores normais dos planos (peguei estes coeficientes das equações dos planos):
  • Para x-4y+2z=0 o vetor normal é
n_1=(1,-4,2).
  • Para 2x+3y-z+1=0 o vetor normal é
n_2=(2,3,-1).

Passo 4

Calcular o produto vetorial v=n_1\times n_2 passo a passo (uso a fórmula do passo anterior):
  • Primeiro componente:
v_x = n_{1y}n_{2z}-n_{1z}n_{2y}=(-4)\cdot(-1)-2\cdot3=4-6=-2.
  • Segunda componente:
v_y = n_{1z}n_{2x}-n_{1x}n_{2z}=2\cdot2-1\cdot(-1)=4+1=5.
  • Terceira componente:
v_z = n_{1x}n_{2y}-n_{1y}n_{2x}=1\cdot3-(-4)\cdot2=3+8=11.
Portanto
v = (-2,\,5,\,11).

Passo 5

Verificar que v é de fato ortogonal aos dois normais (cheque rápido útil na prova):
  • Produto escalar v\cdot n_1:
v\cdot n_1 = (-2)\cdot1 + 5\cdot(-4) + 11\cdot2 = -2 -20 +22 = 0.
  • Produto escalar v\cdot n_2:
v\cdot n_2 = (-2)\cdot2 + 5\cdot3 + 11\cdot(-1) = -4 +15 -11 = 0.
Ambos nulos, logo v é ortogonal aos dois normais e portanto é direção correta da reta pedida.

Passo 6

Construir as equações paramétricas da reta:
  • Seja t o parâmetro. A reta que passa por P=(5,0,-2) com direção v=(-2,5,11) tem equação vetorial
\mathbf{r}(t) = (5,0,-2) + t(-2,5,11).
  • Escrevendo em coordenadas paramétricas:
x=5-2t,\qquad y=0+5t,\qquad z=-2+11t,
onde t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=5-2t
y=5t
z=-2+11t

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