Considere as retas $\quad r_{1}: 4 x-y=0, \quad r_{2}: 4 x-y=1, \quad e \quad r_{3}:\left{ \begin{array}{l}x=2 t \\ y=-t\end{array}\right.); t \in \mathbb{R}… Determine o ponto C \in r_{3} tal que d\left(C, r_{1}\right)=d\left(C, r_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá três retas e pede um ponto [C) sobre a reta r_{3} tal que a distância de C a r_{1} seja igual à distância de C a r_{2}.
Informações fornecidas:
  • r_{1}: 4x - y = 0.
  • r_{2}: 4x - y = 1.
  • r_{3} dada parametricamente por (\displaystyle r_{3}: \begin{cases}x=2t\\[4pt] y=-t\end{cases},; t\in\mathbb{R}.]
O que se pede:
  • Determinar o ponto C\in r_{3} tal que d\bigl(C,r_{1}\bigr)=d\bigl(C,r_{2}\bigr).]

Passo 2

Vamos representar um ponto genérico C de r_{3} em função do parâmetro t. Pegando as equações paramétricas,
C=(x,y)=(2t,\,-t).
A incógnita que precisamos encontrar é o valor de t tal que as distâncias sejam iguais; depois obtemos as coordenadas de C.

Passo 3

Apresento a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) até uma reta dada por ax+by+c=0:
d\bigl((x_0,y_0),\,ax+by+c=0\bigr)=\frac{\bigl|a x_0+b y_0+c\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Explicação didática da fórmula:
  • O numerador a x_0+b y_0+c é o valor que a expressão linear da reta assume no ponto; em geral é a distância orientada (pode ser positiva ou negativa), por isso aparece em valor absoluto.
  • O denominador \sqrt{a^{2}+b^{2}} normaliza a expressão, porque a equação ax+by+c=0 pode ser multiplicada por qualquer constante sem mudar a reta; dividir por \sqrt{a^{2}+b^{2}} dá a unidade correta (comprimento).
  • Assim a fórmula dá a menor distância perpendicular do ponto à reta.

Passo 4

Escrevo as retas na forma ax+by+c=0:
  • Para r_{1}: 4x-y+0=0, então a=4,\; b=-1,\; c=0.
  • Para r_{2}: 4x-y-1=0, então a=4,\; b=-1,\; c=-1.
Agora aplico a fórmula da distância ao ponto C=(2t,-t).
Distância de C a r_{1}:
d\bigl(C,r_{1}\bigr)=\frac{\bigl|4\cdot(2t)+(-1)\cdot(-t)+0\bigr|}{\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}} =\frac{\bigl|8t+t\bigr|}{\sqrt{17}} =\frac{9|t|}{\sqrt{17}}.
Distância de C a r_{2}:
d\bigl(C,r_{2}\bigr)=\frac{\bigl|4\cdot(2t)+(-1)\cdot(-t)-1\bigr|}{\sqrt{17}} =\frac{\bigl|8t+t-1\bigr|}{\sqrt{17}} =\frac{|9t-1|}{\sqrt{17}}.

Passo 5

Imponho d\bigl(C,r_{1}\bigr)=d\bigl(C,r_{2}\bigr). Como o denominador \sqrt{17} é comum e positivo, ele se cancela; sobram valores absolutos:
9|t| = |9t-1|.

Passo 6

Resolvo a equação com valores absolutos por casos.
Caso A: t\ge 0. Então |t|=t e a equação fica
9t = |9t-1|.
Subcaso A1: se 9t-1\ge 0 (isto é, t\ge \tfrac{1}{9}), então |9t-1|=9t-1 e a equação seria 9t=9t-1, o que dá -1=0, impossível. Portanto não há solução com t\ge\tfrac{1}{9}.
Subcaso A2: se 9t-1<0 (isto é, t<\tfrac{1}{9}), então |9t-1|=1-9t. A equação fica
9t = 1-9t \quad\Longrightarrow\quad 18t = 1 \quad\Longrightarrow\quad t=\tfrac{1}{18}.
Esse t satisfaz t\ge 0 e t<\tfrac{1}{9} (pois \tfrac{1}{18}<\tfrac{1}{9}), então é solução válida.
Caso B: t<0. Então |t|=-t e a equação é
-9t = |9t-1|.
Mas se t<0 então 9t<0 so 9t-1<0, logo |9t-1|=1-9t. A equação fica
-9t = 1-9t \quad\Longrightarrow\quad 0=1,
impossível. Portanto não há solução com t<0.
Conclusão dos casos: a única solução é t=\tfrac{1}{18}.

Passo 7

Agora obtenho as coordenadas do ponto C substituindo t=\tfrac{1}{18} em C=(2t,-t):
x=2t=2\cdot\frac{1}{18}=\frac{1}{9},\qquad y=-t=-\frac{1}{18}.
Portanto
C=\left(\frac{1}{9},\,-\frac{1}{18}\right).
Observação útil (método alternativo rápido): geometricamente, os pontos equidistantes de duas retas paralelas estão numa reta intermediária (a “reta média”) cuja equação é obtida substituindo o termo independente pelo valor médio; aqui a reta média é 4x-y=\tfrac{1}{2}. Interseção dessa reta com r_{3} dá a mesma solução t=\tfrac{1}{18} e o mesmo C.

Resposta

C=\left(\dfrac{1}{9},\;-\dfrac{1}{18}\right)

Exercícios relacionados