Um plano é paralelo ao plano 2 x+2 y+z=1 e o ponto ( 2,2,2 ) é equidistante desses planos. Determine a equação cartesiana do plano.

Passo 1

O enunciado pede o plano paralelo a
2x+2y+z=1
de modo que o ponto (2,2,2) esteja à mesma distância dos dois planos. Vamos usar o conceito de vetor normal de plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Do enunciado, o plano buscado deve ter o mesmo vetor normal do plano dado, ou seja, (A,B,C)=(2,2,1). Logo sua equação geral é
2x+2y+z + d = 0,
com d real a determinar.

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2+B^2+C^2
Para o plano dado 2x+2y+z-1=0 e o ponto (2,2,2) temos
d1 = l|2cdot2 + 2cdot2 + 1cdot2 - 1r|raiz2^2+2^2+1^2 = |10 - 1|3 = 3
Para o plano incógnita 2x+2y+z + d =0 a distância é
d2 = l|2cdot2 + 2cdot2 + 1cdot2 + dr|3 = |10 + d|3

Passo 4

Igualando as distâncias ( d2=d1):
|10 + d|3 = 3 Longrightarrow |10 + d| = 9 Longrightarrow 10 + d = pm 9
isso dá d=-1 ou d=-19. O caso d=-1 é o plano original, então o plano distinto que buscamos corresponde a d=-19.

Resposta

2x + 2y + z - 19 = 0

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