Mostre que as retas L1 e L2 são iguais.
L1: x=3-t, y=1+2 t e L2: x=-1+3 t, y=9-6 t

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
L1:;x=3-t,;y=1+2t e
L2:;x=-1+3u,;y=9-6u,
e pede para mostrar que elas representam a mesma reta.
Para isso usamos conceito de geometria analítica: duas retas coincidem se são paralelas (mesmo vetor diretor, até escala) e têm pelo menos um ponto em comum.

Passo 2

Vamos extrair os vetores diretores de cada reta.
Para L1, o parâmetro é t e
d1 = l(tfracdxdt,;tfracdydtr) = (-1,;2)
Para L2, o parâmetro é u e
d2 = l(tfracdxdu,;tfracdydur) = (3,;-6)
Note que
d2 = (3,-6) = -3,( -1,2 ) = -3,d1,
logo d2 é múltiplo escalar de d1 e as retas são paralelas.

Passo 3

Basta agora verificar que há um ponto comum. Tomemos o ponto de
Procuramos tal que . Do sistema
vemos que da primeira equação sai também está em .

Passo 4

Como L1 e L2 são paralelas e compartilham o ponto P=(3,1), concluímos que são coincidentes, ou seja, representam a mesma reta.

Resposta

As retas L1 e L2 coincidem (são iguais).

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