Questão - 23 (ITA-SP, adaptada). Seja x in [0,2 pi] tal que sen x cdot cos x=25. Então, qual o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg x ?

Passo 1

O enunciado diz que xin[0,2pi] e satisfaz
sin xcdotcos x=25
Queremos a soma e o produto de todos os possíveis valores de tan x.
Conteúdo: trigonometria elementar (identidades com tan) e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Vamos transformar tudo em tan x. Sabemos que
sin xcdotcos x=tan xcdotcos^2 x e cos^2 x=11+tan^2 x
Logo
sin xcos x =tan x1+tan^2 x =25
Isso gera a equação racional
tan x1+tan^2 x=25

Passo 3

Multiplicando em cruz,
5,tan x=2,(1+tan^2 x) Longrightarrow 5,t=2+2,t^2,
onde escrevemos t=tan x. Rearranjando,
2,t^2-5,t+2=0

Passo 4

Resolvendo a quadrática 2t^2-5t+2=0 por Bhaskara,
t=5pmraiz(-5)^2-4cdot2cdot22cdot2 =5pmraiz25-164 =5pm34
Assim os dois valores distintos são
t1=5+34=2, t2=5-34=12

Passo 5

Pelos teoremas de Viète, a soma e o produto das raízes t1,t2 de 2t^2-5t+2=0 são
soma=t1+t2=52, produto=t1,t2=1

Resposta

Soma dos valores de tan x: tfrac52.
Produto dos valores de tan x: 1.

Exercícios relacionados