Questão - 23 (ITA-SP, adaptada). Seja
tal que
. Então, qual o produto e a soma de todos os possíveis valores de
?
Passo 1
O enunciado diz que
e satisfaz
Queremos a soma e o produto de todos os possíveis valores de
.
Conteúdo: trigonometria elementar (identidades com ) e resolução de equação quadrática.
Conteúdo: trigonometria elementar (identidades com
Passo 2
Vamos transformar tudo em
. Sabemos que
Logo
Isso gera a equação racional
Passo 3
Multiplicando em cruz,
onde escrevemos
. Rearranjando,
Passo 4
Resolvendo a quadrática
por Bhaskara,
Assim os dois valores distintos são
Passo 5
Pelos teoremas de Viète, a soma e o produto das raízes
de
são
Resposta
Soma dos valores de
:
.
Produto dos valores de :
.
Produto dos valores de