Mostre que as retas L1 e L2 são reversas, onde
rlrl L1: & x=1+7 t, & y=3+t, & & z=5-3 t & L2: x=4-t, & y=6, & & z=7+2 t

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as retas L1 e L2 no espaço são reversas, isto é, que elas não são paralelas e também não se intersectam.

Passo 2

Extraímos de cada reta um ponto e seu vetor diretor:
– Para L1 um ponto é P1=(1,3,5) e seu vetor diretor é v1=(7,1,-3).
– Para L2 um ponto é P2=(4,6,7) e seu vetor diretor é v2=(-1,0,2).

Passo 3

Verificamos se v1 e v2 são múltiplos um do outro:
7-1=-7, 10 (indefinido), -32=-1,5
Como não existe um mesmo escalar que iguale todas as componentes, as retas não são paralelas.

Passo 4

Para checar interseção, igualamos as coordenadas de um ponto genérico de L1, (1+7t,,3+t,,5-3t), com as de L2, (4-s,,6,,7+2s), obtendo o sistema:
1 + 7t = 4 - s, 3 + t = 6, 5 - 3t = 7 + 2s

Passo 5

Da segunda equação vem t=3. Substituindo em 1+7t=4-s temos
1 + 7cdot3 = 4 - s Longrightarrow 22 = 4 - s Longrightarrow s = -18

Passo 6

Agora verificamos a terceira equação com t=3 e s=-18:
5 - 3cdot3 = 5 - 9 = -4, 7 + 2cdot(-18) = 7 - 36 = -29
Como -4 neq -29, não há solução comum. Logo, as retas não se intersectam.

Resposta

As retas L1 e L2 são reversas.

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