Questão - 24 (ITA-SP, adaptada). Se os números reais alpha e beta com alpha+beta=4 pi3, 0 <= alpha <= beta, maximizam a soma sen alpha+sen beta, então qual o valor de alpha ?

Passo 1

O enunciado pede os reais alpha e beta tais que
alpha+beta=4pi3, 0<=alpha<=beta
que maximizam
sinalpha+sinbeta
O conteúdo envolvido é otimização de soma de funções trigonométricas, e vamos usar identidades para reduzir a expressão a uma única variável.

Passo 2

Aplicamos a identidade de soma de senos:
sinalpha+sinbeta =2sin!l(tfracalpha+beta2r)cos!l(tfracalpha-beta2r)

Passo 3

Como alpha+beta=tfrac4pi3, temos
sin!l(tfracalpha+beta2r) =sin!l(tfrac2pi3r) =raiz32
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sinalpha+sinbeta =2cdotraiz32, cos!l(tfracalpha-beta2r) =raiz3cos!l(tfracalpha-beta2r)

Passo 4

O domínio 0<=alpha<=beta implica alpha-beta<=0, ou seja
alpha-beta2inl[-tfracpi3,0r]
Nessa faixa, cos é máximo em zero, pois cos decresce de 0 a -tfracpi3. Assim
alpha-beta2=0 Longrightarrow alpha=beta

Passo 5

Com alpha=beta e alpha+beta=tfrac4pi3 segue
2alpha=4pi3 Longrightarrow alpha=2pi3

Resposta

alpha=2pi3

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