Sejam L1 e L2 as retas cujas equações paramétricas são L1: x=1+2 t, y=2-t, z=4-2 t e L2: x=9+t, y=5+3 t, z=-4-t
(a) Mostre que L1 e L2 intersectam no ponto ( 7,-1,-2 ).
(b) Determine o ângulo entre L1 e L2 em seu ponto de interseção.
(c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a L1 e L2 e que passa no seu ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado dá as retas L1 e L2 em R^3 por equações paramétricas e pede:
– (a) mostrar que elas se interceptam num ponto P,
– (b) calcular o ângulo entre elas em P,
– (c) obter a reta comum perpendicular a L1 e L2 que passa por P.
Para isso vamos resolver o sistema para encontrar P, usar produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a reta perpendicular.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção
Das duas primeiras equações tiramos . Substituindo na segunda obtemos
Verificamos na terceira: e . Logo o ponto de interseção é

Passo 3

As direções são v1=(2,-1,-2) e v2=(1,3,-1). O ângulo theta entre as retas satisfaz
costheta = |v1cdotv2||v1|;|v2|
Calculamos
v1cdotv2 = 2cdot1 +(-1)cdot3 +(-2)cdot(-1) = 1, |v1| = raiz4+1+4=3, |v2| = raiz1+9+1=raiz11
Assim
costheta = 13raiz11 Longrightarrow theta = arccos!l(tfrac13raiz11r)

Passo 4

A reta comum perpendicular a L1 e L2 deve ter direção v1timesv2. Fazendo o produto vetorial,
v1timesv2 = deti&j&k2&-1&-21&3&-1 = (7,0,7)
Podemos usar (1,0,1) como vetor diretor simplificado. Passando por P=(7,-1,-2), as equações paramétricas da reta são
x = 7 + u, y = -1, z = -2 + u, uinR

Resposta

(a) O ponto de interseção é (7,-1,-2).
(b) O ângulo entre L1 e L2 é
theta = arccos!l(tfrac13raiz11r)
(c) Uma reta perpendicular comum é
x = 7 + u, y = -1, z = -2 + u

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