Sejam e as retas cujas equações paramétricas são e
(a) Mostre que e intersectam no ponto ( ).
(b) Determine o ângulo entre e em seu ponto de interseção.
(c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a e e que passa no seu ponto de interseção.
Passo 1
O enunciado dá as retas e em por equações paramétricas e pede:
– (a) mostrar que elas se interceptam num ponto ,
– (b) calcular o ângulo entre elas em ,
– (c) obter a reta comum perpendicular a e que passa por .
Para isso vamos resolver o sistema para encontrar , usar produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a reta perpendicular.
Passo 2
Para achar o ponto de interseção
Das duas primeiras equações tiramos . Substituindo na segunda obtemos
Verificamos na terceira: e . Logo o ponto de interseção é
Passo 3
As direções são e . O ângulo entre as retas satisfaz
Calculamos
Assim
Passo 4
A reta comum perpendicular a e deve ter direção . Fazendo o produto vetorial,
Podemos usar (1,0,1) como vetor diretor simplificado. Passando por P=(7,-1,-2), as equações paramétricas da reta são
x = 7 + u, y = -1, z = -2 + u, uinR
Resposta
(a) O ponto de interseção é (7,-1,-2).
(b) O ângulo entre L1 e L2 é