Resolva os problemas de valor inicial dados:
X^prime=(cc1 / 2 & 0 1 & -1 / 2) X , X(0)=binom35

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para o sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
X' = A,X, A = tfrac12 & 0 [6pt]1 & -tfrac12, X(0)=35
O que precisamos é encontrar os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral X(t) e depois impor a condição inicial para determinar as constantes.]

Passo 2

Para achar os autovalores de A, fazemos a equação característica
detl(A - lambda Ir) = det!tfrac12-lambda & 0 [3pt]1 & -tfrac12-lambda = (tfrac12-lambda)(-tfrac12-lambda) - 0cdot1 = -tfrac14 + lambda^2
Igualando a zero, vem
lambda^2 - tfrac14 = 0 Longrightarrow lambda = pm tfrac12 ]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para , resolvemos
Podemos escolher .
Para , resolvemos
Escolhemos .

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos e^lambda tv:
X(t) = C1 e^t/211 + C2 e^-t/201
Impondo X(0)=l(C111+C201r)=35, obtemos
C1 = 3, C1 + C2 = 5 ;Longrightarrow; C2 = 2

Resposta

X(t) = 3,e^t/211 + 2,e^-t/201 Longrightarrow x1(t) = 3,e^t/2,[4pt] x2(t) = 3,e^t/2 + 2,e^-t/2 ]

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